【1変数】数列の収束と発散の定義を解説

今回は1変数の実数について、数列の定義から始めて、数列の収束と発散についても定義します。

最後に、収束する数列は有界である定理を証明します。

数列の定義

まずは数列を定義します。

全ての自然数\(n\)に対して数\(s_n\)が与えられたとき、これを(無限)数列といって、

$$ \{s_n\} = \{s_1, s_2, s_3, \cdots\} \tag{1}$$

のように書きます。この数列\(\{s_n\}\)の\(n\)番目の数を第\(n\)項一般項などと呼びます。

数列の収束

先の項で定義した数列の項\(s_n\)が、十分大きな\(n\)に対して、ある数\(s\)に任意の近さで近づくとき、この数\(s\)を数列の極限といいます。

ただし、文章による定義では話がふわっとしてしまいます。「十分大きな」や「任意の近さで」などの表現を厳密に言い表す必要があります。

このことを踏まえて、改めて数列の収束を定義しましょう。

定義(数列の収束)
ある数\(s\)が存在して、

$$\forall \varepsilon > 0  \exists N \ge 1  \forall n \ge N  |s_n-s| < \varepsilon  \tag{2}$$

が成り立つとき、数列が\(s\)に収束するといって、

$$\lim_{n \to \infty}s_n = s または s_n \to s (n \to \infty)    \tag{3}$$

と書く。

このとき、\(\forall\)は「すべての」を、\(\exists\)は「ある~が存在して」を意味していて、量化子と呼ばれる記号です。

式(2)をを日本語で言い換えると、

すべての正数\(\varepsilon\)に対してある自然数\(N\)が存在して、

\(N\)以上の自然数\(n\)において、\(s_n\)と\(s\)の差の絶対値が\(\varepsilon\)よりも小さくなる。

になります。

数列の発散

また、どんな正数\(s\)に対しても上の定義が成り立たないとき、数列\(\{s_n\}\)は発散すると言います。

特に、

定義(数列の発散)
$$\forall M > 0 \exists N \ge 1 \forall n \ge N s_n > M  \tag{4}$$

が成り立つとき、数列\(\{s_n\}\)は無限大に発散すると言って、

$$\lim_{n \to \infty}s_n = \infty または s_n \to \infty (n \to \infty)    \tag{5}$$

と書く。

数列の収束と有界

定理(数列の収束と有界)
数列\(\{s_n\}\)が収束することは、数列\(\{s_n\}\)が有界であるための十分条件である。

ここで数列\(\{s_n\}\)が有界であるとは、

$$\exists B \forall n \ge 1 |s_n| \le B \tag{6}$$

を満たす。

式(6)は、「ある数\(B\)が存在して、すべての自然数\(n\)に対して\(s_n\)の絶対値が\(B\)以下である。」を意味しています。

証明 

仮定より数列\(\{s_n\}\)は収束します。

この数列が数\(s\)に収束するとして、\(\varepsilon\)を\(1\)とおくと、すべての自然数\(m \ge N\)に対して\(|s_m – s| \le 1\)となるような自然数\(N\)が存在します。

三角不等式を利用して、

$$\begin{align} |s_m| &= |s_m  – s + s| \\ &\le |s_m – s| + |s| \\ &\le 1 + |s|\end{align}$$

を得ます。第\(N\)番目以降の項はすべて\(1 + |s|\)以下であることが分かったため、

$$B = \max \{|s_1|, |s_2|, \cdots , |s_{N-1}|, |s|+1\}$$

とおけば、\(|s_n| \le B\)となります。このとき、\(max \{\cdot\}\)は\(\{\cdot\}\)内の最大値を返します。

一方で、数列\(\{s_n\}\)が有界であっても、数列\(\{s_n\}\)が収束するとは限らないことを示します。

例えば以下の数列、

$$ \{a_n\} = \{0, 1, 0, 1, 0, \cdots\} \tag{7}$$

は\(B=1\)で有界であると分かりますが、収束はしませんね。

よって、数列\(\{s_n\}\)が収束することは、数列\(\{s_n\}\)が有界であるための十分条件になります。

(証明終)

もう1つ有益な定理を紹介しておきます。

定理
数列\(\{s_n\}\)が\(s\)に収束し、\(\exists N \ge 1  \forall n \ge N  s_n \le B\)であるとき、\(s \le B \)である。

証明(背理法による)

\(s >B\)を仮定します。数列\(\{s_n\}\)は\(s\)に収束することから、\(\varepsilon( := s \: – B > 0)\)が与えられたときに、

$$ s\: – \: s_n \le \: \mid s_n – s \mid \: < \varepsilon = s -B$$

が成り立ちます。最左辺と最右辺を比較すれば\(s_n > B\)を得ますが、これは仮定に矛盾します(証明終)。