可逆酵素反応における反応の速度式とホールデンの関係式を導出

ミカエリス・メンテン式の導出では以下のように生成物ができると可逆反応を起こさないという前提のもと反応初速度を求めました。しかし、酵素反応の中には生成物が逆反応によって基質に戻る場合もあるため無視することはできません。今回は可逆反応を起こす場合のミカエリス・メンテン式を求めようと思います。

可逆反応のミカエリス・メンテン式

まず、可逆反応を考慮した酵素反応式は以下のようになります。

可逆反応式

この反応速度\(v\)は

$$v=-\frac{d[S]}{dt}=k_1[E][S]-k_{-1}[ES]\tag{1}$$

また、生理的条件では基質の濃度が酵素に比べて十分多いと考えてよく、酵素-基質複合体の濃度は変化しない定常状態を仮定できるので、

$$\frac{d[S]}{dt}=k_1[E][S]+k_{-2}[P][E]-(k_{-1}+k_2)[ES]=0 \tag{2}$$

これを[E]について解くと、

$$(k_1[S]+k_{-2}[P])[E]=(k_{-1}+k_2)[ES]$$

よって、

$$[E]=\frac{(k_{-1}+k_2)}{k_1[S]+k_{-2}[P]}[ES]\tag{3}$$

これを(1)式に代入して[E]を消去します。

$$v=k_1\frac{(k_{-1}+k_2)}{k_1[S]+k_{-2}[P]}[ES][S]-k_{-1}[ES]$$

整理して、

$$v=(\frac{k_1(k_{-1}+k_2)[S]}{k_1[S]+k_{-2}[P]}-k_{-1})[ES]\tag{4}$$

あとは[ES]を消去するだけです。酵素の全濃度\([E]_t\)は以下の式で表され、

$$[E]_t=[E]+[ES]$$

これに(3)式を代入して[E]を消去します。

$$[E]_t=(\frac{k_{-1}+k_2}{k_1[S]+k_{-2}[P]}+1)[ES]$$

通分すると、

$$[E]_t=\frac{k_{-1}+k_2+k_1[S]+k_{-2}[P]}{k_1[S]+k_{-2}[P]}[ES]$$

さらに、[ES]=の形に式変形すれば、

$$[ES]=\frac{k_1[S]+k_{-2}[P]}{k_{-1}+k_2+k_1[S]+k_{-2}[P]}[E]_t$$

これを(4)式に代入して[ES]を消去します。

$$v=(\frac{k_1(k_{-1}+k_2)[S]}{k_1[S]+k_{-2}[P]}-k_{-1})×\frac{k_1[S]+k_{-2}[P]}{k_{-1}+k_2+k_1[S]+k_{-2}[P]}[E]_t$$

引き算の部分は通分して計算すれば、

$$v=\frac{k_1k_2[S]-k_{-1}k_{-2}[P]}{k_1[S]+k_{-2}[P]}×\frac{k_1[S]+k_{-2}[P]}{k_{-1}+k_2+k_1[S]+k_{-2}[P]}[E]_t$$

約分します。

$$v=\frac{k_1k_2[S]-k_{-1}k_{-2}[P]}{k_{-1}+k_2+k_1[S]+k_{-2}[P]}[E]_t\tag{5}$$

あとは不可逆反応のミカエリス・メンテン式のように不可逆の場合では2種類の最大速度とミカエリス定数をそれぞれ定義します。(5)式の分母分子を\((k_{-1}+k_2)\)で割ると、

$$v=\frac{\frac{k_1}{k_{-1}+k_2}k_2[S]-k_{-1}\frac{k_{-2}}{k_{-1}+k_2}[P]}{1+\frac{k_1}{k_{-1}+k_2}[S]+\frac{k_{-2}}{k_{-1}+k_2}[P]}\tag{6}$$

ここで、

$$v_{max}^f=k_2[E]_t$$

$$v_{max}^r=k_{-1}[E]_t$$

$$K_M^S=\frac{k_{-1}+k_2}{k_1}$$

$$K_M^P=\frac{k_{-1}+k_2}{k_2}$$

の4つを定義すると、(6)式は以下のように置き換えられます。

$$v=\frac{\frac{v_{max}^f[S]}{K_M^S}-\frac{v_{max}^r[P]}{K_M^P}}{1+\frac{[S]}{K_M^S}+\frac{[P]}{K_M^P}}\tag{7}$$

ホールデンの関係式

もし酵素反応が平衡状態に達したとすれば、反応速度vは0になるので(7)式の分子が0になります。

$$\frac{v_{max}^f[S]}{K_M^S}-\frac{v_{max}^r[P]}{K_M^P}=0$$

両辺に\(K_M^SK_M^P\)をかけて式変形すると、

$$K_{eq}=\frac{[P]}{[S]}=\frac{v_{max}^fK_M^P}{v_{max}^rK_M^S}$$

を導くことができます。これをホールデンの関係式と呼びます。