【１変数】実数の和と積、順序、絶対値を定義

『【１変数】コーシー列の定義から実数の構成までを解説』の記事では、コーシー列の定義から実数の構成までを解説しました。

今回は、続いて実数の和や積、順序、絶対値についての定義を紹介していきたいと思います。分からない記号が出てきたら、上に挙げた記事を参照してみてください。

1 実数の和と積
2 実数の順序
3 全順序
4 実数の絶対値

実数の和と積

実数の定義をしたら、次に演算を定義をしておかなければなりません。

$s=\overline{\{s_n\}}$と$v=\overline{\{v_n\}}$を実数とします。このとき、これら２つの数の和（差）と積（商）を、

$$\begin{align} &s+v:=\overline{\{s_n\}+\{v_n\}} \\ \\ &s\cdot v:=\overline{\{s_n\}\cdot \{v_n\}} \end{align} \tag{1}$$

と定義します。

ただし、定義をするにあたって、まず${s_n}+{v_n}$と${s_n}\cdot {v_n}$が有理コーシー列であることを確認しないといけません。実数は有理コーシー列の同値類だと定義したからです。それには、『【１変数】収束列の和・差・積・商の数列も収束する』で紹介した証明と同じように考えれば確かめられます。

和については、三角不等式より、

$$\begin{align} \mid ( s_n + v_n ) \; – \; ( s_{n+k} + v_{n+k} ) \mid &= \; \mid s_n \; – \; s_{n+k} + v_n \; – \; v_{n+k} \; \mid \\ & \le \; \mid s_n \; – \; s_{n+k} \mid + \mid v_n \; – \; v_{n+k} \; \mid \end{align}$$

ですから、『【１変数】コーシー列の定義から実数の構成までを解説』で紹介したコーシー列の定義を満たす、有理コーシー列であると分かります。

また、積についても、

$$\begin{align} \mid \; s_nv_n \; – \; s_{n+k}v_{n+k} \; \mid &= \; \mid s_nv_n \; – \; s_{n+k}v_n + s_{n+k}v_n \; – \; s_{n+k}v_{n+k} \; \mid \\ & \le \; \mid s_nv_n \; – \; s_{n+k}v_n \mid + \mid s_{n+k}v_n \; – \; s_{n+k}v_{n+k} \; \mid \\ & = \; \mid v_n \mid \cdot \mid s_n \; – \; s_{n+k} \mid + \mid s_{n+k} \mid \cdot \mid v_n \; – \; v_{n+k} \; \mid \end{align}$$

となりますから、同じくコーシー列の定義を満たす、有理コーシー列であると分かります。

また、$\{s_n\}$と$\{v_n\}$とは別の代表元$\{s^{\prime}_n\}$と$\{v^{\prime}_n\}$を選んでも和は$s+v$、積は$s\cdot v$にならないといけません。これは、$n \to \infty$のとき、$s_n-s^{\prime}_n \to 0$、$v_n-v^{\prime}_n \to 0$、$(s_n+v_n)-(s^{\prime}_n+v^{\prime}_n) \to 0$、$(s_n \cdot v_n)-(s^{\prime}_n \cdot v^{\prime}_n) \to 0$であることを順に示せば確かめられます。これも、先と同じ流れで示すことができます。

続いて、３つの計算規則、

交換法則
- $s+v=v+s$
- $s \cdot v=v \cdot s$
結合法則
- $(s+v)+w=s+(v+w)$
- $(s \cdot v) \cdot w=s \cdot (v \cdot w)$
分配法則
- $(s+v) \cdot w = s \cdot w+v \cdot w$

を確かめることになりますが、ここでは省略します。

実数の順序

$s=\overline{\{s_n\}}$と$v=\overline{\{v_n\}}$を実数とします。このとき、これら２つの数の順序を、

$$\begin{align} &s \lt v: \Leftrightarrow \exists \varepsilon^{\prime} \gt 0 \;\;\; \exists M \geq 1 \;\;\; \forall m \geq M \;\;\; s_m \leq v_m- \varepsilon^{\prime} \\ \\ &s=v: \Leftrightarrow s \lt v \; または \; s=v \end{align} \tag{2}$$

と定義します。

これによって、順序関係が定められます。

反射律
- $s \leq s$
推移律
- $s \leq v, v \leq w \Rightarrow s \leq w$
反対称律
- $s \leq v, v \leq s \Rightarrow s=v$

反対称律の証明

背理法によります。$s \neq v$を仮定すると、$s \lt v$と$v \lt s$より、

$$\begin{align} & \exists \varepsilon^{\prime}_1 \gt 0 \;\;\; \exists M_1 \geq 1 \;\;\; \forall m \geq M_1 \;\;\; s_m \leq v_m- \varepsilon^{\prime}_1 \\ \\ &\exists \varepsilon^{\prime}_2 \gt 0 \;\;\; \exists M_2 \geq 1 \;\;\; \forall m \geq M_2 \;\;\; v_m \leq s_m- \varepsilon^{\prime}_2 \end{align} $$

ですから、$m=max(M_1,M_2)$に対して、

$$ \varepsilon^{\prime}_2 \leq s_m-v_m \leq -\varepsilon^{\prime}_1 $$

となって、$-\varepsilon^{\prime}_1 \lt \varepsilon^{\prime}_2$であることに矛盾します。

（証明終）

全順序

(2)式で定義した順序$\leq$は全順序です。全順序とは、$s \neq v$であるどんな２つの実数に対しても、$s \lt v$と$s \gt v$のいずれかが成り立つということです。

このとき、$s \neq v$は『【１変数】コーシー列の定義から実数の構成までを解説』で紹介したコーシー列の同値の否定ですから、

$$ \exists \varepsilon \gt 0 \;\;\; \forall N \geq 1 \;\;\; \exists n \geq N \;\;\; \mid s_n – v_n \mid \geq \varepsilon \tag{3} $$

(2)式で定義した順序$\leq$が全順序であることの証明

仮定の$s \neq v$より$s=\overline{\{s_n\}}$と$v=\overline{\{v_n\}}$は異なる２つの実数で、(3)式も成り立ちます。また、$\{s_n\}$と$\{v_n\}$はコーシー列ですから、

$$\forall \varepsilon \gt 0 \;\;\; \exists N_1 \ge 1 \;\;\; \forall n \ge N_1 \;\;\; \forall k \ge 1 \;\;\; \mid s_n-s_{n+k} \mid \lt \varepsilon \tag{4} $$

$$\forall \varepsilon \gt 0 \;\;\; \exists N_2 \ge 1 \;\;\; \forall n \ge N_2 \;\;\; \forall k \ge 1 \;\;\; \mid v_n-v_{n+k} \mid \lt \varepsilon \tag{5} $$

で、さらに(3)式より、$N=max(N_1,N_2)$とおけば、

$$ \exists 3\varepsilon \gt 0 \;\;\; \forall N \geq 1 \;\;\; \exists n \geq N \;\;\; \mid s_n – v_n \mid \geq 3\varepsilon \tag{6} $$

も得られます。上式の絶対値を外せば、

$$ s_n – v_n \leq -3\varepsilon \;\; または \;\; s_n – v_n \geq 3\varepsilon $$

(4)式より$s_{n+k}$は$s_n$を中心とする半径$\varepsilon$の円の内部に存在し、(5)式より$v_{n+k}$は$v_n$を中心とする半径$\varepsilon$の円の内部に存在します。これと、(6)式より$s_n$と$v_n$の間の距離が$\varepsilon$以上ですから、$s_{n+k}$と$v_{n+k}$の間の距離は$\varepsilon$以下になります。

すなわち、$\forall k \ge 1$に対して$\mid s_{n+k}-v_{n+k} \mid \ge \varepsilon$ですから、これは(2)式の$ s \lt v$を満たします。

（証明終）