積集合(直積)の一般化から選択公理の紹介まで

1 積集合の一般化
2 選択公理

積集合の一般化

$I$を添字域とする集合族$A$があるとします。

$$A = <A_i ; i \in I>$$

また、集合$B$を、

$$\begin{align} B &= \bigcup_{i \in I}{A_i} \\ &= \bigcup \bigl\{A_i ; i \in I\bigr\} \end{align}$$

とします。

$I$から$B$への写像$f$のなかで、各$i$に対して$f(i) \in A_i$となるものの全体を、集合族$<A_i ; i \in I>$の積集合または直積といい、$\prod <A_i ; i \in I>$や$\prod_{i \in I} A_i$などとかきます。

$$\prod_{i \in I} A_i = \Bigl\{f : I \to \bigcup_{i \in I}{A_i} ; 各iに対してf(i) \in A_i \Bigr\}$$

具体的に、$f(i) = a_i$、$f = \; <a_i>_{i \in I}$とおいて、$I $が自然数全部の集合$\mathbb N$であるとき、

$$\prod_{i \in I} A_i = \; <a_i>_{i \in I} \; = \; <a_1, \; a_2, \; a_3, \; \cdots>$$

になります。

要は、集合族$A$の積集合とは、各$A_i$から元をひとつずつ選んでできる集合の組み合わせ全部になります。

例えば、

$$\begin{align} I &= \{1, \; 2\} \\ A &= \; <A_1, \; A_2> \end{align}$$

で、

$$\begin{align} A_1 &= \{1, 3, 5\} \\ A_2 &= \{2, 4, 6\} \end{align}$$

のとき、

$$\begin{align} \prod_{i \in I} A_i = \bigl\{ &<1, 2>, <1, 4>, <1, 6>, <3, 2>, \\ &<3, 4>, <3, 6>, <5, 2>, <5, 4>, <5, 6> \bigr\} \end{align}$$

になります。$< \; >$のところは$( \; )$としても差し支えありません。

また、すべての$i, j \in I$に対して$A_i = A_j$のとき、$\prod_{i \in I} A_i$を$A^I$とかきます。

ここでひとつの問題が生じるのですが、上にあげた例の場合、添字域$I$は有限集合ですし各$A_i = \emptyset$ですから、$\prod_{i \in I} A_i$は空集合ではありません。ところが、$I$が無限集合のときも$\prod_{i \in I} A_i $が空集合ではいとは限りません。

そこで、空集合でないことを保証するのが選択公理になります。そういった意味でも選択公理は重要なんですね。