【１変数】実数列が収束することとコーシー列であることは同値である

前回の記事では、コーシー列を定義してから実数の構成を概観しました。

【１変数】コーシー列の定義から実数の構成までを解説

2019年7月8日

なぜこの２つを解説したかというと、今回紹介する実数列の収束とコーシー列に関する定理を証明するにあたって、実数を構成しておく必要があったからです。

それではさっそく、その定理の紹介と証明をしましょう。

実数列の収束とコーシー列

定義（数列の収束）

実数列$\{s_n\}$がコーシー列であるときかつそのときに限って、実数列$\{s_n\}$は実数の極限値に収束する。

実数列がコーシー列であることは、それが収束するための必要十分条件です。

証明

まずは、収束する実数列がコーシー列であることを示します。

収束する数列の定義より、極限を$s$とおけば、

$$\forall \varepsilon > 0 　\exists N \ge 1 　\forall n \ge N 　|s_n-s| < \varepsilon $$

が成り立つので、自然数$k$に対して、

$$|s_{n+k}-s| < \varepsilon $$

も成り立ちます。よって、三角不等式より、

$$\begin{align} |s_n – s_{n+k}| &= |s_n – s + s – s_{n+k}| \\ &\le |s_n – s| + |s – s_{n+k}| \\ &< \varepsilon + \varepsilon \\ &= 2\varepsilon \end{align}$$

が得られます。

そこで、すべての正数$\varepsilon ^{\prime}$に対して正数$\varepsilon$を$2\varepsilon = \varepsilon ^{\prime}$となるようにおくと、

$$|s_n – s_{n+k}| \lt 2\varepsilon = \varepsilon ^{\prime}$$

となるため、最終的に、

$$\forall \varepsilon ^{\prime} > 0 　\exists N \ge 1 　\forall n \ge N 　\forall k \ge 1 　|s_n-s_{n+k}| < \varepsilon ^{\prime}$$

を得ます。これはコーシー列の定義と一致します。

逆に、コーシー列が実数の極限値に収束することを示します。

数列$\{s_i\}$を実数のコーシー列とします。

$\{s_i\}$の各項は実数であるため、対応する有理コーシー列の同値類によって表されます。そこで、$\{s_i\}$の第$i$項$s_i$ について、$s_i = \overline {\{s_{in}\}}_{n \ge 1}$となる有理コーシー列$\{s_{in}\}$を考えることができます。

$$\{s_{in}\} = \{s_{i1}, s_{i2}, s_{i3}, \cdots \}$$

$\{s_{in}\}$は有理コーシー列ですから、その定義より、

$$ \exists N_i \ge 1 \;\;\; \forall n \ge N_i \;\;\; \forall k \ge 1 \;\;\; |s_{in}-s_{i,n+k}| \lt \frac{1}{2i} \tag{1} $$

が成り立つことを利用します。そこで、$v_i := s_{i,N_i}$とおいて有理数列$\{v_i\}$を考えることにします。

実数$\mid v_i-s_i \mid$は、対応する有理コーシー列の同値類$ \overline{\{ \mid v_i – s_{im} \mid \}}_{m \ge1}$によって表されるため、数列$\{\mid v_i – s_{im} \mid\}$を考えます。

$v_i = s_{i,N_i}$と式(1)より、すべての$m \ge N_{i}$に対して、

$$ \begin{align} \mid v_i – \, s_{im} \mid &= \: \mid s_{i,N_i} \: – \, s_{im} \; \mid \\ &\lt \frac{1}{2i} \\ &= \frac{1}{i} – \frac{1}{2i} \end{align} $$

となることが分かります。そこで、$1/2i = \varepsilon^\prime$とおけば上式から、

$$\mid v_i \: – \, s_{im} \mid \lt \frac{1}{i} – \varepsilon^\prime$$

が得られ、これは２つの実数$\mid v_i-s_i \mid$と$i$の順序の定義を満たしますから、

$$\mid v_i \: – \, s_i \mid \lt \frac{1}{i} \tag{2}$$

であることが分かります。

続いて、有理数列$\{v_i\}$がコーシー列であることを示します。

$\{s_i\}$はコーシー列ですから、すべての正数$\varepsilon$に対して十分大きな値$i$をとることで、

$$ \mid s_i – s_{i+k} \mid < \varepsilon \tag{3}$$

が成立します。ここで、$k$は自然数です。

式(2)と$1/i \lt \varepsilon$を満たす十分大きな$i$に対して、式(3)もあわせれば、

$$ \begin{align} \mid v_i \: – \, v_{i+k} \mid &= \: \mid v_i – s_i + s_i – s_{i+k} + s_{i+k} – v_{i+k} \mid \\ &\le \: \mid v_i – s_i \mid + \mid s_i – s_{i+k} \mid + \mid s_{i+k} – v_{i+k} \mid \\ &< \frac{1}{i} + \varepsilon + \frac{1}{i+k} \\ &< 3\varepsilon \end{align} \tag{4}$$

となって、コーシー列の定義に一致します。ゆえに有理数列$\{v_i\}$はコーシー列です。

そこで、$ \{v_n\} $の同値類を$ s := \overline{ \{v_n\}} $とかくと、実数$s$は$ \{v_n\} $の極限であることが推定されます。

式(4)より、

$$ \mid v_i – v_{i+k} \mid < 4\varepsilon - \varepsilon $$

で、この式は２つの実数$\mid v_i – v_{i+k} \mid$と$4\varepsilon$の順序の定義を満たしますから、

$$ \mid v_i – s \mid < 4\varepsilon \tag{5} $$

となります。

以上、式(2)(5)より、$i$が十分大きな値をとれば、

$$ \begin{align} \mid s_i – s \mid &\le \: \mid s_i – v_i \mid + \mid v_i – s \mid \\ &< \frac{1}{i} + 4\varepsilon \\ &< 5\varepsilon \end{align} $$

が得られるので、$s_i \to s \;\; (i \to \infty)$となります。したがって、実数のコーシー列は実数の極限値に収束します。

（証明終）