積集合（直積）と対角集合 続いて、集合\(A\)と\(B\)があるとします。このとき、\(A\)の元\(x\)と\(B\)の元\(y\)のペア\((x, y)\)全部の集合を、\(A\)と\(B\)の積集合または直積とい…

二項関係 \(A\)が集合であるとします。このとき、積集合\(A \times A\)の部分集合を\(A\)上の二項関係または関係といいます。 \(R\)が\(A\)上の二項関係、すなわち積集合\(A \times A\…

積集合の一般化 \(I\)を添字域とする集合族\(A\)があるとします。 $$A = <A_i ; i \in I>$$ また、集合\(B\)を、 $$\begin{align} B &= \bigc…

点列 自然数全部の集合\(\mathbb N\)または非負の整数全部の集合から集合\(X\)への写像を、\(X\)の点列といいます。 \(X\)が実数全部の集合\(\mathbb R\)や複素数全部の集合\(\mathb…

単射、全射、全単射の定義をそれぞれ紹介します。 単射、全射、全単射の定義 \(f\)を\(A\)から\(B\)への写像とします。 \(x, y \in A\)として、\(f(x) = f(y)\)ならば\(x = y\)…

写像（関数） 集合\(A\)と\(B\)があって、\(f\)を積集合\(A \times B\)の部分集合とします。 \(A\)の任意の元\(x\)に対して、\((x, y) \in f\)となる\(B\)の元\(y\)…

集合と元（要素） 数学において着目したい「もの」の集まりをひとつの対象とみなします。この対象のことを集合といいます。 集合を構成する個々の「もの」のことを元（げん）または要素と呼びます。 例えば\(A\)という集合に対し…

カルボニル化合物からアルコールを合成するにあたって、正に帯電したプロトンH+だけでなく負に帯電したヒドリドイオンH–が必要であることを下の記事で解説しました。言い換えれば、求電子的な水素と求核的な水素が必要で…

今回は積分可能であるための定理を２つ紹介します。それにあたって、前回までの２つの記事が前提になっているので読んでおくことをお勧めします。 連続関数は積分可能である 証明 まず、 \(f : [a,b] \to \math…

前回の記事ではリーマン積分可能な関数を定義しました。今回は関数の定数倍や絶対値、積分どうしの和・積・商が積分可能であるかどうかについて解説します。 今回もリーマンの意味での積分を扱うにあたって、引き続き以下の関数に限定し…