単射、全射、全単射の定義をそれぞれ紹介します。 単射、全射、全単射の定義 \(f\)を\(A\)から\(B\)への写像とします。 \(x, y \in A\)として、\(f(x) = f(y)\)ならば\(x = y\)…

写像（関数） 集合\(A\)と\(B\)があって、\(f\)を積集合\(A \times B\)の部分集合とします。 \(A\)の任意の元\(x\)に対して、\((x, y) \in f\)となる\(B\)の元\(y\)…

集合と元（要素） 数学において着目したい「もの」の集まりをひとつの対象とみなします。この対象のことを集合といいます。 集合を構成する個々の「もの」のことを元（げん）または要素と呼びます。 例えば\(A\)という集合に対し…

カルボニル化合物からアルコールを合成するにあたって、正に帯電したプロトンH+だけでなく負に帯電したヒドリドイオンH–が必要であることを下の記事で解説しました。言い換えれば、求電子的な水素と求核的な水素が必要で…

今回は積分可能であるための定理を２つ紹介します。それにあたって、前回までの２つの記事が前提になっているので読んでおくことをお勧めします。 連続関数は積分可能である 証明 まず、 \(f : [a,b] \to \math…

前回の記事ではリーマン積分可能な関数を定義しました。今回は関数の定数倍や絶対値、積分どうしの和・積・商が積分可能であるかどうかについて解説します。 今回もリーマンの意味での積分を扱うにあたって、引き続き以下の関数に限定し…

前回の記事ではアルコールの工業的製造法やヒドリド反応剤による実験的製造法を解説しました。 今回はその逆で、アルコールの酸化反応によるケトンやカルボン酸といったカルボニル化合物の合成法を紹介します。 アルコールの酸化にはク…

今回はリーマン積分を定義し、リーマン積分が可能であるための必要十分条件に関する定理を紹介します。 この記事では、以下のように有界な関数\(f\)を仮定します。 閉区間\([a,b]=\{x \vert s \le x \…

第一級アルコールを酸化させるとアルデヒドに、第二級アルコールを酸化させるとケトンが生成します。逆に、アルデヒドやケトンを還元させると、それぞれ第一級アルコールと第二級アルコールを生成します。 これらの知識は高校の有機化学…

関数の連続性のほかに、一様連続性という概念があります。 これを関数の連続性と比較してみまよう。関数\(f(x)\)が\(x_0\)で連続であるとは、 $$\forall \varepsilon > 0 　\exis…