いろいろな数学的集合の定義を解説

集合と元(要素)

数学において着目したい「もの」の集まりをひとつの対象とみなします。この対象のことを集合といいます。

集合を構成する個々の「もの」のことを(げん)または要素と呼びます。

例えば\(A\)という集合に対して、\(x\)が集合\(A\)の元であるとしましょう。このとき、\(x\)は\(A\)に属するといって、以下のように表します。

$$x \in A$$

また、元\(x\)が集合\(A\)に含まれないときは以下のように表します。

$$x \notin A$$

集合の表し方

次に、集合の表し方について定義します。

元\(x_1, x_2, x_3, \cdots, x_n\)からちょうど成る集合\(A\)は次のようにかきます。

$$A = \{x_1, x_2, x_3, \cdots, x_n\}$$

他にも、もし無限個の元\(x_1, x_2, x_3, \cdots\)からちょうど成る集合\(A\)であれば次のようにかきます。

$$A = \{x_1, x_2, x_3, \cdots\}$$

また、1つの元\(x\)のみを含む\(\{x\}\)も集合として扱います。このように1つの元のみからなる集合を一元集合といいます。

さらに、1つの元も属さない集合を空集合と呼び、\(\emptyset\)とかきます。

条件を添えた集合の表し方

ある条件\(P\)を満たす変数\(x\)の集合を表したいときには次のようにかきます。

$$\{x \: ; P(x)\}$$

さらに、集合\(X\)の元のうち条件\(P\)をみたすものの集合は以下のようにかきます。

$$\{x \in X \: ; P(x)\}$$

例えば\(x^2 – x – 6 \le 0\)を満たす実数\(x\)の集合は、

$$\{x \in \mathbb{R} \: ; x^2 – x – 6 \le 0\}$$

になります。ここで、\(\mathbb{R}\)は実数全部の集合としました。

包含関係と部分集合

集合\(A\)の元すべてが集合\(B\)に属するとき、\(A\)は\(B\)の部分集合であるといいます。他にも、\(A\)は\(B\)に含まれるともいい、次のように表します。

$$A \subset B$$

例えば、\(X = \{3, 4 \}\)は\(Y = \{1, 2, 3, 4, 5\}\)の部分集合で\(X \subset Y\)です。

さらに、\(A \subset B\)かつ\(B \subset A\)ならば\(A=B\)で、\(A=B\)ならば\(A \subset B\)かつ\(B \subset A\)と書くことにします。

特に、空集合\(\emptyset\)は全ての集合に含まれます。

合併集合と共通部分

集合\(A\)と\(B\)に対して、\(A\),\(B\)の少なくとも一方に属する元の全体を考えます。これを\(A\)と\(B\)の合併集合といい、\(A \cup B\)とかきます。

$$A \cup B = \{x \: ; x \in A または x \in B \}$$

例えば、\(X = \{1, 2, 3, 4 \}\)で\(Y = \{3, 4, 5, 6\}\)のとき、\(X \cup Y = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)です。

次に、\(A\),\(B\)の両方に属する元の全体を\(A\)と\(B\)の共通部分といい、\(A \cap B\)とかきます。

$$A \cap B = \{x \: ; x \in A かつ x \in B \}$$

例えば、\(X = \{1, 2, 3, 4 \}\)で\(Y = \{3, 4, 5, 6\}\)のとき、\(X \cap Y = \{3, 4\}\)です。

最後に、\(A\)の元のなかで\(B\)に属さないものの全体を\(A \setminus B\)とかきます。

$$A \setminus B = \{x \in A \: ; x \notin B \}$$

例えば、\(X = \{1, 2, 3, 4 \}\)で\(Y = \{3, 4, 5, 6\}\)のとき、\(X \setminus Y = \{1, 2\}\)です。

合併集合と共通部分の一般化

元がパラメーターとなるような集合\(I\)を考えます。このとき\(I \neq \emptyset\)とします。そして、\(I\)に対応する集合\(\{A_i \: ; i \in I\}\)があるとしましょう。

例えば、集合\(I = \{1, 2, 3\}\)をパラメーターとする集合\(\{A_i \: ; i \in I\}\)は、

$$\{A_1, A_2, A_3\}$$

です。

一般に、少なくともひとつの\(A_i\)に属する元の全体を\(\{A_i \: ; i \in I\}\)の合併集合といい、次のように表します。

$$\bigcup_{i \in I}{A_i} \; または \: \bigcup\{A_i \; ; i \in I\}$$

なお、\(I = \emptyset\)のときは\(\bigcup_{i \in I}{A_i} = \emptyset\)と定めます。

また、元がすべて集合である集合\(B\)があるとします。\(B\)の元\(x\)すべての合併集合をBの和集合といい、次のように表します。

$$\bigcup_{x \in B}{x} \; または \; \bigcup\{x \: ; x \in B\} \; または \; \bigcup_{}{B}$$

次に、先と同様に元がパラメーターとなるような集合\(I (\neq \emptyset)\)に対して、集合\(\{A_i \: ; i \in I\}\)があるとします。

すベての\(A_i\)に属する元の全体を\(\{A_i \: ; i \in I\}\)の共通部分といい、次のように表します。

$$\bigcap_{i \in I}{A_i} \; または \: \bigcap\{A_i \; ; i \in I\}$$

補集合

あるひとつの集合\(X\)にのみ着目して、\(X\)の部分集合だけを考えることにしましょう。

\(X\)の部分集合\(A\)に対して、

$$X \setminus A = \{x \in X \: ; x \notin A \}$$

を\(A\)の(\(X\)における)補集合といいます。

例えば、\(X = \{1, 2, 3, 4, 5 \}\)で\(A = \{3, 4\}\)のとき、\(A\)の\(X\)における補集合\(X \setminus A\)は\(\{1, 2, 5\}\)です。

積集合(直積)と対角集合

続いて、集合\(A\)と\(B\)があるとします。このとき、\(A\)の元\(x\)と\(B\)の元\(y\)のペア\((x, y)\)全部の集合を、\(A\)と\(B\)の積集合または直積といって、次のようにかきます。

$$A \times B = \{(x, y) \: ; x \in A \; かつ \: y \in B\}$$

例えば、\(A = \{1, 3\}\)で\(B = \{2, 4\}\)のときは\(A \times B = \{(1, 2), (1, 4), (3, 2), (3, 4)\}\)です。このとき、\(B \times A = \{(2, 1), (4, 1), (2, 3), (4, 3)\}\)なわけですから、一般に\(A \times B \neq B \times A\)であることに注意してください。

話を一般化しましょう。集合\(A_1, A_2, \cdots , A_n\)があるとします。このとき、\(A_i(1 \le i \le n)\)の元\(x_i\)たちによる\(n\)ペア\((x_1, x_2, \cdots , x_n)\)全部の集合を次のようにかきます。

$$A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n = \{(x_1, x_2, \cdots , x_n) \: ; x_i \in A_i \: (1 \le i \le n)\}$$

特に、同じ集合どうしの直積の場合は\(A^n(n=1, 2, 3, \cdots)\)とかきます。

$$A^n = \{(x_1, x_2, \cdots , x_n) \: ; x_i \in A_i \: (1 \le i \le n)\}$$

例えば\(A = \{2, 4\}\)のときは、

$$A^3 = \{(2, 2, 2), (2, 2, 4), (2, 4, 2), (2, 4, 4), (4, 2, 2), (4, 2, 4), (4, 4, 2), (4, 4, 4)\}$$

です。

もうひとつ例を挙げると、\(A_1 = \{1, 4\}, A_2 = \{2, 5\}, A_3 = \{3, 6\}\)のときは、

$$A_1 \times A_2 \times A_3 = \{(1, 2, 3), (1, 2, 6), (1, 5, 3), (1, 5, 6), (4, 2, 3), (4, 2, 6), (4, 5, 3), (4, 5, 6)\}$$

です。

また、\(A^n\)の部分集合\(\{(x, x, \cdots , x) \: ; x \in A \}\)は対角集合と呼ばれます。

冪(べき)集合

集合\(A\)があるとします。このとき、\(A\)部分集合の全体を\(A\)の冪集合といい、\(\mathcal{P}(A)\)とかきます。

空集合\(\emptyset\)と\(A\)自身も\(A\)の部分集合であることに注意してください、したがって、\(\emptyset \in \mathcal{P}(A)\)かつ\(A \in \mathcal{P}(A)\)です。

例えば\(A = \{1, 2\}\)のとき、\(\mathcal{P}(A) = \{\emptyset , \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\}\)です。

二項関係

\(A\)が集合であるとします。このとき、積集合\(A \times A\)の部分集合を\(A\)上の二項関係または関係といいます。

\(R\)が\(A\)上の二項関係、すなわち積集合\(A \times A\)の部分集合であるとします。\((x, y) \in R\)のとき、\(x\)と\(y\)は関係\(R\)で結ばれているといいます。他にも\(x\)と\(y\)は\(R\)関係があると言ったりもします。

そしてこのことを普通、\(x {\sim} y\)や\(xRy\)、\(R(x, y)\)などと表します。

例えば、\(A = \{1, 2, 3\}\)上の関係\(R = \{(1, 1), (2, 3)\}\)があるとしましょう。この場合、\(1 {\sim} 1\)と\(2 {\sim} 3\)のみになります。

同値関係

以下の3つの条件を満たすとき、\(A\)上の関係\(R\)が\(A\)上の同値関係であるといいます。

\(\begin{align} &1) \: 反射律: \; Aの任意の元xに対して \, x {\sim} x \\ &2) \: 対称律: \; x {\sim} y \, ならば \, y {\sim} x\\ &3) \: 推移律: \; x {\sim} y \, かつ \, y {\sim} z \, ならば \, x {\sim} z\end{align}\)

例を挙げながらこれらの定義を確認しましょう。

\(A = \{1, 2, 3\}\)上の関係\(R_1 = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3)\}\)は反射律を満たします(同値関係でもある)。

\(A = \{1, 2, 3\}\)上の関係\(R_2 = \{(1, 3), (3, 1)\}\)は対称律を満たします(推移律も満たす)。

\(A = \{1, 2, 3\}\)上の関係\(R_3 = \{(1, 2), (2, 3), (1, 3)\}\)は推移律を満たします。

\(A = \{1, 2, 3, 4\}\)上の関係、

$$R_4 = \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 4)\}$$

は同値関係です。

類別(分割)と類

次に、集合\(A\)の部分集合の族(集合)\(\mathcal{F} = \{A_i \: ; i \in I\}\)が以下の3つの条件を満たすとき、\(\mathcal{F}\)を\(A\)の類別または分割といいます。

\(\begin{align}&1) \; A_i \neq \emptyset \\ &2) \; A = \bigcup_{i \in I}{A_i} \\ &3) \; i, j \in I \, ならば \, A_i \cap A_j = \emptyset\end{align}\)

また、各\(A_i\)のことを類別\(\mathcal{F}\)によるといいます。

例えば、\(A = \{1, 2, 3, 4, 5\}\)に対して\(\mathcal{F} = \{\{1\}, \{2, 4\}, \{3,5\}\}\)は\(A\)の類別です。

同値類

\(R\)を集合\(A\)上の同値関係とします。ある元\(a {\in} A\)に着目して、\(a\)と\(R\)関係のある元\(x {\in} A\)全部の集合を\(X_{a \in A}\)として求めます。

このようにして元\(a {\in} A\)ごとに得られた集合\(X_{a {\in} A}\)の集合を\(\mathcal{F}\)とします。

このとき\(\mathcal{F}\)は\(A\)の類別であり、\(\mathcal{F}\)の類を同値関係\(R\)の同値類といいます。

例えば、\(A = \{1, 2, 3, 4, 5\}\)上の同値関係、

$$R = \{(1, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4), (3, 3), (3, 5), (5, 3), (5, 5)\}$$

に対して\(\mathcal{F} = \{\{1\}, \{2, 4\}, \{3,5\}\}\)が求まります。すると確かに\(\mathcal{F}\)は\(A\)の類別であり、同値類は\(\{1\}\)と\(\{2, 4\}\)と\(\{3,5\}\)になります。

また、ある元\(a {\in} A\)と\(R\)関係のある元\(x {\in} A\)全部の集合は「元\(a\)の\(A\)における同値類」と呼ばれ、次のように表します。

$$[a] = \{x \in A \: ; aRx\}$$

商集合

\(R\)が\(A\)上の同値関係のとき、\(R\)の同値類全部の集合を\(A\)の\(R\)による商集合といい、\(A \backslash R\)とかきます。

前項で挙げた例の場合を考えてみます。\(A = \{1, 2, 3, 4, 5\}\)上の関係、

$$R = \{(1, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4), (3, 3), (3, 5), (5, 3), (5, 5)\}$$

に対して、同値類は\(\{1\}\)と\(\{2, 4\}\)と\(\{3,5\}\)です。したがって、\(A \backslash R = \{\{1\}, \{2, 4\}, \{3,5\}\}\)です。