写像（関数）
集合\(A\)と\(B\)があって、\(f\)を積集合\(A \times B\)の部分集合とします。
\(A\)の任意の元\(x\)に対して、\((x, y) \in f\)となる\(B\)の元\(y\)がちょうどひとつだけ存在するとき、\(f\)を”\(A\)から\(B\)への写像または関数”と呼んで次のように表します。
$$f : A \to B$$
\(A\)の元\(x\)に対して\((x, y) \in f\)となる\(B\)の元\(y\)を、\(f\)による\(x\)の像といって次にように表します。
$$f(x)$$
この\(y \, {=} f(x)\)は、
$$f : x \to y$$
ともかきます。
さらに、\(A\)を\(f\)の定義域、\(B\)を\(f\)の値域とそれぞれ呼びます。
写像の例を２つ紹介しておきましょう。
集合\(A\)の各元\(x\)を\(x\)自身に対応させる写像は\(A\)の恒等写像といって、\(I_A\)とかきます。
$$I_A = \{ (x, x) \: ; x \in A \}$$
また、\(A\)と\(B\)は集合で\(b\)を\(B\)の元とします。\(A\)に含まれる全ての元を同じ\(b\)に対応させる写像を\(A\)から\(B\)への定値写像といいます。
像集合（像）
\(f\)を\(A\)から\(B\)への写像とします。\(B\)の元のうち、\(A\)の元の像であるようなものを全て集めます。このとき得られる集合は\(f\)の像集合または像といって、\(f[A]\)とかきます。
$$f[A] = \{f(x) \: ; x \in A\}$$
はなしを一般化しましょう。集合\(A\)に着目して\(A\)の部分集合\(C\)を考えます。このとき、\(\{f(x) \: ; x \in C\}\)を\(f\)による\(C\)の像集合（像）といって、\(f[C]\)とかきます。
逆像
\(D\)は\(B\)の部分集合であるとします。このとき、\(f(x) {\in} D\)となる\(A\)の元\(x\)の全体を\(f\)による\(D\)の逆像といい、\(f^{-1}[D]\)とかきます。
$$f^{-1}[D] = \{ x \in A \: ; f(x) \in D\}$$
特に、\(D\)が一元集合で\(y {\in} D\)のとき、\(f^{-1}[\{y\}]\)のことを省略して\(f^{-1}[y]\)とかくことにします。
$$f^{-1}[y] = \{ x \in A \: ; f(x) = y \}$$
制限と延長
\(f\)を\(A\)から\(B\)への写像、\(C\)を\(A\)の部分集合とします。このとき\(f\)の定義域を\(A\)から\(C\)に制限しても、\(C\)から\(B\)への写像が得られます。これを\(f\)の\(C\)への制限といって、\(\left.f\right|_{C}\)とかきます。
$$\left.f\right|_{C} = \{(x, y) \in f \: ; x \in C\}$$
逆にこのとき、\(f\)は\(\left.f\right|_{C}\)の\(A\)への延長であるといいます。
合成写像
\(A, B, C\)は集合であり、\(f\)は\(A\)から\(B\)への写像、\(g\)は\(B\)から\(C\)への写像であるとします。このとき、\(A\)の元\(x\)に\(C\)の元\(g(f(x))\)を対応させる写像のことを、\(f\)と\(g\)の合成写像といって、\(g \circ f\)とかきます。
$$g \circ f = \{(x, z) \in A \times C \: ; (f(x), z) \in g\}$$
