単射、全射、全単射の定義をそれぞれ紹介します。
単射、全射、全単射の定義
\(f\)を\(A\)から\(B\)への写像とします。
\(x, y \in A\)として、\(f(x) = f(y)\)ならば\(x = y\)であるとき、\(f\)を単射といいます。このとき、\(f\)が一対一であるともいいます。
また、\(f\)による像\(f[A]\)が\(B\)全体であるとき、\(f\)を全射といいます。要は、\(B\)の任意の元\(y\)に対して、\(f(x) = y\)を満たす\(A\)の元\(x\)が存在することを意味しています。
さらに、単射かつ全射である場合は\(f\)を全単射といいます。
標準単射
\(B\)を\(A\)の部分集合とします。このとき、\(B\)の元\(x\)に\(A\)の元\(x\)を対応させる写像は\(B\)から\(A\)への単射です。この単射を特に、\(B\)から\(A\)への標準単射（包含写像、自然な単射）といいます。
標準全射
\(R\)を\(A\)上の同値関係であるとします。\(A\)の元\(x\)に\(x\)が属する\(R\)の同値類を対応させる写像は、\(A\)から商集合\(A \backslash R\)への全射です。これを特に、\(R\)によって定まる標準全射（商写像、自然な全射）といいます。
射影
\(A\)と\(B\)は集合であるとします。積集合\(A \times B\)の元\( (x, y) \)に\(x\)を対応させる写像は、\(A \times B\)から\(A\)への全射です。これを、\(A \times B\)から\(A\)への射影といいます。
逆写像
\(f\)を\(A\)から\(B\)への全単射とします。全単射の定義から、\(B\)の任意の元\(y\)に対して\(f(x) = y\)を満たす\(A\)の元\(x\)がただ一つ存在します。したがって、\(y\)にこの\(x\)を対応させる写像を考えることができます。これを\(f\)の逆写像（逆関数）といい、\(f^{-1}\)とかきます。
\(f^{-1}\)もまた、\(B\)から\(A\)への全単射になります。
ちなみに、合成写像\(f^{-1} \circ f\)は\(A\)の恒等写像\(I_A\)で、 合成写像\(f \circ f^{-1}\)は\(B\)の恒等写像\(I_B\)です。
