積集合（直積）・対角集合・冪集合とは

1 積集合（直積）と対角集合
2 冪（べき）集合

積集合（直積）と対角集合

続いて、集合 $A$ と $B$ があるとします。このとき、 $A$ の元 $x$ と $B$ の元 $y$ のペア $(x, y)$ 全部の集合を、 $A$ と $B$ の積集合または直積といって、次のようにかきます。

$A \times B = \{(x, y) \: ; x \in A \; かつ \: y \in B\}$

例えば、 $A = \{1, 3\}$ で $B = \{2, 4\}$ のときは $A \times B = \{(1, 2), (1, 4), (3, 2), (3, 4)\}$ です。このとき、 $B \times A = \{(2, 1), (4, 1), (2, 3), (4, 3)\}$ なわけですから、一般に $A \times B \neq B \times A$ であることに注意してください。

話を一般化しましょう。集合 $A_1, A_2, \cdots , A_n$ があるとします。このとき、 $A_i(1 \le i \le n)$ の元 $x_i$ たちによる $n$ ペア $(x_1, x_2, \cdots , x_n)$ 全部の集合を次のようにかきます。

$A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n = \{(x_1, x_2, \cdots , x_n) \: ; x_i \in A_i \: (1 \le i \le n)\}$

特に、同じ集合どうしの直積の場合は $A^n(n=1, 2, 3, \cdots)$ とかきます。

$A^n = \{(x_1, x_2, \cdots , x_n) \: ; x_i \in A_i \: (1 \le i \le n)\}$

例えば $A = \{2, 4\}$ のときは、

$A^3 = \{(2, 2, 2), (2, 2, 4), (2, 4, 2), (2, 4, 4), (4, 2, 2), (4, 2, 4), (4, 4, 2), (4, 4, 4)\}$

です。

もうひとつ例を挙げると、 $A_1 = \{1, 4\}, A_2 = \{2, 5\}, A_3 = \{3, 6\}$ のときは、

$A_1 \times A_2 \times A_3 = \{(1, 2, 3), (1, 2, 6), (1, 5, 3), (1, 5, 6), (4, 2, 3), (4, 2, 6), (4, 5, 3), (4, 5, 6)\}$

です。

また、 $A^n$ の部分集合 $\{(x, x, \cdots , x) \: ; x \in A \}$ は対角集合と呼ばれます。