積集合（直積）・対角集合・冪集合とは

1 積集合（直積）と対角集合
2 冪（べき）集合

積集合（直積）と対角集合

続いて、集合$A$と$B$があるとします。このとき、$A$の元$x$と$B$の元$y$のペア$(x, y)$全部の集合を、$A$と$B$の積集合または直積といって、次のようにかきます。

$$A \times B = \{(x, y) \: ; x \in A \; かつ \: y \in B\}$$

例えば、$A = \{1, 3\}$で$B = \{2, 4\}$のときは$A \times B = \{(1, 2), (1, 4), (3, 2), (3, 4)\}$です。このとき、$B \times A = \{(2, 1), (4, 1), (2, 3), (4, 3)\}$なわけですから、一般に$A \times B \neq B \times A$であることに注意してください。

話を一般化しましょう。集合$A_1, A_2, \cdots , A_n$があるとします。このとき、$A_i(1 \le i \le n)$の元$x_i$たちによる$n$ペア$(x_1, x_2, \cdots , x_n)$全部の集合を次のようにかきます。

$$A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n = \{(x_1, x_2, \cdots , x_n) \: ; x_i \in A_i \: (1 \le i \le n)\}$$

特に、同じ集合どうしの直積の場合は$A^n(n=1, 2, 3, \cdots)$とかきます。

$$A^n = \{(x_1, x_2, \cdots , x_n) \: ; x_i \in A_i \: (1 \le i \le n)\}$$

例えば$A = \{2, 4\}$のときは、

$$A^3 = \{(2, 2, 2), (2, 2, 4), (2, 4, 2), (2, 4, 4), (4, 2, 2), (4, 2, 4), (4, 4, 2), (4, 4, 4)\}$$

です。

もうひとつ例を挙げると、$A_1 = \{1, 4\}, A_2 = \{2, 5\}, A_3 = \{3, 6\}$のときは、

$$A_1 \times A_2 \times A_3 = \{(1, 2, 3), (1, 2, 6), (1, 5, 3), (1, 5, 6), (4, 2, 3), (4, 2, 6), (4, 5, 3), (4, 5, 6)\}$$

です。

また、$A^n$の部分集合$\{(x, x, \cdots , x) \: ; x \in A \}$は対角集合と呼ばれます。