【1変数】コーシー列の定義と収束の証明を実数の構成から解説

コーシー列の定義

数列の収束は以下のように定義されるものでした。

定義(数列の収束)
ある数\(s\)が存在して、

$$\forall \varepsilon > 0  \exists N \ge 1  \forall n \ge N  |s_n-s| < \varepsilon  \tag{1}$$

が成り立つとき、数列は\(s\)に収束するといい、

$$\lim_{n \to \infty}s_n = s または s_n \to s (n \to \infty)    \tag{2}$$

と書く。

したがって、ある数列\(\{s_n\}\)が収束することを示そうと思ったら、その極限\(s\)をあらかじめ知っておく必要があります。

(参考:【1変数】数列の収束と発散の定義を解説

極限を求めずに数列が収束するかどうかを確認する方法はないのでしょうか。

この問題を解決したのがコーシーのアイデアです。

定義(コーシー列)
数列\(\{s_n\}\)が、

$$\forall \varepsilon > 0  \exists N \ge 1  \forall n \ge N  \forall k \ge 1  |s_n-s_{n+k}| < \varepsilon   \tag{3}$$

を満たすとき、コーシー列という。

式(3)を日本語で直訳すると以下のようになります。

すべての正数\(\varepsilon\)に対してある自然数\(N\)が存在して、

\(N\)以上の自然数\(n\)と、すべての自然数\(k\)において、\(s_n\)と\(s_{n+k}\)の差の絶対値が\(\varepsilon\)よりも小さくなる。

さらに意訳すると以下のようになります。

どんなに小さい正数\(\varepsilon\)に対しても、ある自然数\(N\)が存在して、

第\(N\)番目以降にある2つの項の差の絶対値が常に\(\varepsilon\)よりも小さくなる。

このような数列がコーシー列になります。

実数の構成

有理数の項のみで構成されたコーシー列を有理コーシー列と呼ぶことにします。

例えば以下の有理数列、

$$ \{1.7, 1.73, 1.732, \cdots\} $$

は確かにコーシー列なのですが、極限である\(\sqrt{3}\)は有理数ではないため実数の構成を行う必要があります。

同値

2つの有理コーシー列\(\{s_n\}\)と\(\{v_n\}\)について、

$$\lim_{n \to \infty} (s_n-v_n) = 0$$

であるとき、すなわち、

$$\forall \varepsilon > 0  \exists N \ge 1  \forall n \ge N  |s_n – v_n| < \varepsilon $$

であるとき、\(\{s_n\}\)と\(\{v_n\}\)は同値であるといって、

$$\{s_n\} \sim \{v_n\}$$

と書きます。

同値関係にある2つの有理コーシー列の極限は同じになるという意味において、2つの数列を同一のものと見なしているのです。

同値類

そこで、有理コーシー列\(\{s_n\}\)と同値関係にある有理コーシー列の集合を同値類と言って、

$$\overline {\{s_n\}} = \left. \Bigl\{\{v_n\} \; \right| \, \{v_n\}は有理コーシー列かつ\{s_n\} \sim \{v_n\} \Bigr\}$$

で表すことにします。このとき、同値類の元を代表元といいます。

実数の定義

有理コーシー列の同値類を実数の定義します。

すなわち、実数\(\mathbb{R}\)を、

$$\mathbb{R} = \left. \Bigl\{ \, \overline {\{s_n\}} \; \right| \, \{s_n\}は有理コーシー列 \, \Bigr \}$$

とするのです。

この定義をもとに、実数の四則演算や順序関係を定義することができます。また、実数による交換法則、結合法則、分配法則の計算規則も確かめることができます。

これらの詳細については今回は省略させてください。

 

実数を定義したことによって、これまで扱ってきた数が実数の範囲にまで拡張されました。極限が有理数でない場合も扱うことができます。

最後に、コーシー列と収束列に関する定理とその証明を紹介して終わりにします。

実数列の収束とコーシー列

定義(数列の収束)

実数列\(\{s_n\}\)がコーシー列であるときかつそのときに限って、

実数列\(\{s_n\}\)は実数の極限値に収束する。

証明

まずは、収束する実数列がコーシー列であることを示します。

収束する数列の定義より、極限を\(s\)とおけば、

$$\forall \varepsilon > 0  \exists N \ge 1  \forall n \ge N  |s_n-s| < \varepsilon  \tag{1}$$

が成り立つので、自然数\(k\)に対して、

$$|s_{n+k}-s| < \varepsilon $$

も成り立ちます。よって、三角不等式より、

$$\begin{align} |s_n – s_{n+k}| &= |s_n – s + s – s_{n+k}| \\ &\le |s_n – s| + |s – s_{n+k}| \\ &< \varepsilon + \varepsilon \\ &= 2\varepsilon \end{align}$$

が得られます。

そこで、すべての正数\(\varepsilon ^{\prime}\)に対して正数\(\varepsilon\)を\(2\varepsilon = \varepsilon ^{\prime}\)となるように置くと、

$$|s_n – s_{n+k}| = 2\varepsilon = \varepsilon ^{\prime}$$

となるため、最終的に、

$$\forall \varepsilon ^{\prime} > 0  \exists N \ge 1  \forall n \ge N  \forall k \ge 1  |s_n-s_{n+k}| < \varepsilon ^{\prime}$$

を得ます。これはコーシー列の定義と一致します。

 

逆に、コーシー列が実数の極限値に収束することを示します。

数列\(\{s_i\}\)を実数のコーシー列とします。

\(\{s_i\}\)の各項は、実数であるため有理コーシー列の同値類です。そこで、自然数\(n\)を用いて\(s_i = \overline {\{s_{in}\}}\)とします。

\(\{s_{in}\}\)は有理コーシー列ですから、その定義より、

$$\exists N_i \ge 1  \forall n \ge N_i  \forall k \ge 1  |s_{in}-s_{i,n+k}| < \frac{1}{2i}  \tag{4} $$

を得ます。さらに、\(v_i := s_{i,N_i}\)とおいて有理数列\(\{v_i\}\)を考えることにします。

\(v_i-s_i\)は有理コーシー列\( \{ v_i – s_{im} \}_{m \ge1}\)の同値類です.

\(v_i = s_{i,N_i}\)と式(4)を用いると、\(m \ge N_{i}\)に対して、

$$ \begin{align} \mid v_i \: – \, s_i \mid &= \overline{\{ \mid v_i-s_{im} \mid \}} \\ &= \: \mid v_i \: – \, s_{im} \mid \\ &= \: \mid s_{i,N_i} \: – \, s_{im} \mid \\ &< \frac{1}{2i} \\ &< \frac{1}{i} \tag{5}\end{align} $$

となることが分かります。

続いて、有理数列\(\{v_i\}\)がコーシー列であることを示します。

\(\{s_i\}\)はコーシー列ですから、すべての正数\(\varepsilon\)に対して\(i\)を十分大きな値とすれば、

$$ \mid s_i – s_{i+k} \mid < \varepsilon \tag{6}$$

が成立します。以降の\(i\)は式(6)を満たす十分大きな値で、かつ\(1/i < \varepsilon\)も満たしているとします。また、すべての正数\(\varepsilon\)に対してこの条件を満たす\(i\)の値をとることはできますね。

式(5)(6)より、

$$ \begin{align} \mid v_i \: – \, v_{i+k} \mid &= \: \mid v_i – s_i + s_i – s_{i+k} + s_{i+k} – v_{i+k} \mid \\ &\le \: \mid v_i – s_i \mid + \mid s_i – s_{i+k} \mid + \mid s_{i+k} – v_{i+k} \mid \\ &< \frac{1}{i} + \varepsilon + \frac{1}{i+k} \\ &< 3\varepsilon \tag{7}\end{align} $$

となって、コーシー列の定義に一致します。ゆえに有理数列\(\{v_i\}\)はコーシー列です。

そこで、\( \{v_n\} \)の同値類を\( s := \overline \{v_n\} \)とおくと、\(s\)は\( \{v_n\} \)の極限です。

式(7)より、\(i\)が十分大きな値をとれば、

$$ \mid v_i – s \mid < 3\varepsilon \tag{8} $$

が成り立ちます。

以上、式(5)(8)より、\(i\)が十分大きな値をとれば、

$$ \begin{align} \mid s_i – s \mid &\le \: \mid s_i – v_i \mid + \mid v_i – s \mid \\ &< \frac{1}{i} + 3\varepsilon \\ &< 4\varepsilon \end{align} $$

が得られるので、\(s_i \to s (i \to \infty)\)となります。したがって、実数項を含むコーシー列は実数の極限値に収束することが分かります。