【１変数】コーシー列の定義から実数の構成までを解説

1 コーシー列の定義
2 実数の構成

コーシー列の定義

数列の収束は以下のように定義されるものでした。

定義（数列の収束）

ある数$s$が存在して、

$$\forall \varepsilon \gt 0 \;\;\; \exists N \ge 1 \;\;\; \forall n \ge N \;\;\; \mid s_n-s \mid \lt \varepsilon 　\tag{1}$$

が成り立つとき、数列が$s$に収束するといって、

$$\lim_{n \to \infty}s_n = s \;\;\; または \;\;\ s_n \to s \;\; (n \to \infty) \tag{2}$$

とかく。

したがって、ある数列$\{s_n\}$が収束することを示そうと思ったら、その極限$s$をあらかじめ知っておく必要があります。

（参考：【１変数】数列の収束と発散の定義を解説）

極限を求めずに数列が収束するかどうかを調べる方法はないのでしょうか。

この問題を解決したのがコーシーのアイデアです。

定義（コーシー列）

数列$\{s_n\}$が、

$$\forall \varepsilon \gt 0 \;\;\; \exists N \ge 1 \;\;\; \forall n \ge N \;\;\; \forall k \ge 1 \;\;\; \mid s_n-s_{n+k} \mid \lt \varepsilon \tag{3}$$

を満たすとき、これをコーシー列という。

式(3)を日本語に直訳すると、以下のようになります。

すべての正数$\varepsilon$に対してある自然数$N$が存在して、

$N$以上の自然数$n$と、すべての自然数$k$において、$s_n$と$s_{n+k}$の差の絶対値が$\varepsilon$よりも小さくなる。

さらに意訳すると以下のようになります。

どんなに小さい正数$\varepsilon$に対しても、ある自然数$N$が存在して、

第$N$番目以降にあるどの２つの項の差の絶対値もつねに$\varepsilon$よりも小さくなる。

このような数列がコーシー列になります。

実数の構成

有理数の項のみで構成されたコーシー列を有理コーシー列と呼ぶことにします。

たとえば以下の有理数列、

$$ \{1.7, 1.73, 1.732, \cdots\} $$

はたしかにコーシー列なのですが、極限である$\sqrt{3}$は有理数ではなく無理数です。

このように、極限がいくつか分からなくても数列が収束するかを調べることができるようになったため、無理数の位置づけを考えざるを得なくなってしまいます。

そこで、この項では実数の構成を概説したいと思います。

同値

まずは、極限が同じ実数であるものの異なる有理コーシー列を同一視する必要があります。

たとえば、

$$ \{2.4, 2.44, 2.449, \cdots\} $$

の極限は$\sqrt{6}$です。また、

$$ \{1.4, 1.41, 1.414, \cdots\} $$

の極限は$\sqrt{2}$で、

$$ \{1.7, 1.73, 1.732, \cdots\} $$

の極限は$\sqrt{3}$ですから、これら２つの有理コーシー列の積、

$$ \{2.38, 2.4393, 2.449048, \cdots\} $$

の極限値も$\sqrt{6}$であるはずです。

したがって、極限値が$\sqrt{6}$となる２つの有理コーシー列を同一視する必要があります。

そこで、２つの有理コーシー列$\{s_n\}$と$\{v_n\}$について、

$$\lim_{n \to \infty} (s_n-v_n) = 0$$

であるとき、すなわち、

$$\forall \varepsilon \gt 0 \;\;\; \exists N \ge 1 \;\;\; \forall n \ge N \;\;\; \mid s_n – v_n \mid \lt \varepsilon \tag{4}$$

であるとき、$\{s_n\}$と$\{v_n\}$は同値であるといって、

$$\{s_n\} \sim \{v_n\}$$

とかきます。

先に同値という言葉を使って式(4)を定義してしまいましたが、このような数列間の関係は、有理コーシー列の集合上で同値関係を定めているのです。

同値関係から同値類への分割

以下の３つの条件を満たすとき、有理コーシー列の集合上の関係$\sim$が同値関係であるといいます。

$$\begin{align} &1) \: 反射律： \; Aの任意の元xに対して \, \{s_n\} {\sim} \{s_n\} \\ &2) \: 対称律： \; \{s_n\} {\sim} \{v_n\} \, ならば \, \{v_n\} {\sim} \{s_n\} \\ &3) \: 推移律： \; \{s_n\} {\sim} \{v_n\} \, かつ \, \{v_n\} {\sim} \{w_n\} \, ならば \, \{s_n\} {\sim} \{w_n\} \end{align}$$

実際に、式(4)により定義される関係$\sim$は上の３つの条件を満たしているため、同値関係になります。

したがって、有理コーシー列全部の集合を同値類、

$$\overline {\{s_n\}} = \left. \Bigl\{\{v_n\} \; \right| \, \{v_n\}は有理コーシー列かつ\{s_n\} \sim \{v_n\} \Bigr\}$$

に分割することができます。このとき、同値類の元を代表元といいます。

分割や同値などについては『位相と集合』のところで詳しく扱っていますので、是非そちらも参照してみてください。

同じ実数値に収束する異なる有理コーシー列を同一視することができるようになったため、いよいよ実数の定義に入ります。