【1変数】関数における連続を定義

まずは関数における連続を定義します。

定義(関数と連続)
\(A\)は\(\mathbb{R}\)の部分集合で、\(x_0 \in A\)であるとする。

関数\(f : A \to \mathbb{R}\)について、

$$\forall \varepsilon > 0  \exists \delta > 0  \forall x \in A : \: \mid x \; – \; x_0 \mid \, < \delta   \mid f(x) \; – \; f(x_0) \mid \, < \varepsilon$$

が成り立つとき、関数\(f(x)\)は\(x_0\)で連続であるという。

また、すべての\(x_0 \in A\)で連続であるとき、関数\(f(x)\)は連続であるという。

 

次に、上で示した連続の定義と同値な条件についての定理を与えます。

定理(関数の連続)
関数\(f : A \to \mathbb{R}\)がある。

あらゆる数列\(\{x_n\}_{n \ge 1}\)における\(x_n \in A\)に対して、

$$\lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(x_0)  (\lim_{n \to \infty} x_n = xのとき) \tag(1)$$

であるとき、かつそのときに限って、関数\(f(x)\)は\(x_0 \in A\)で連続である。

(証明)

関数\(f(x)\)は\(x_0 \in A\)で連続であるとします。そこで、任意の\(\varepsilon > 0\)に対して、上に述べた連続の定義を満たす数\(\delta > 0\)を選びます。

すると、もしある数\(X \in A\)が\(\mid X \; – \; x_0 \mid < \delta\)を満たすと分かれば、\(\mid f(X) \; – \; f(x_0) \mid \, < \varepsilon\)が成り立つと言えます。

仮定より数列\(\{x_n\}_{n \ge 1}\)は\(n \to \infty\)のとき\(x_n \to x_0\)です。したがって、ある自然数\(N\)が存在して、\(n \ge N\)に対して\(\mid x_n \; – \; x_0 \mid < \delta\)が成り立ちます。

よって、\(n \ge N\)に対しては\(\mid f(x_n) \; – \; f(x_0) \mid \, < \varepsilon\)であることが分かります。これはすべての\(\varepsilon > 0\)に対して成り立っているわけですから、\(n \to \infty\)のとき\(f(x_n) \to f(x_0)\)となります。したがって、(1)式は成立します。

逆に(1)式が成り立っているとします。\(f(x)\)が\(x_0\)で連続であることは背理法により示されます。

\(f(x)\)が\(x_0\)で不連続だと仮定すると、

$$\exists \varepsilon > 0  \forall \delta > 0  \exists x \in A : \: \mid x \; – \; x_0 \mid < \delta   \mid f(x) \; – \; f(x_0) \mid \ge 0$$

を得ます。そこで\(\delta = 1/n\)をとったときに上式を満たす\(x\)を\(x_n\)とします。

数列\(\{x_n\}\)の各項は\(A\)の元であり、また\(\mid f(x_n) \; – \; f(x_0) \mid \ge 1/n\)を満たすため\(x_n\)は\(x_0\)に収束します。

したがって、(1)式より\(f(x_n)\)は\(f(x_0)\)に収束し、十分大きな自然数\(n\)に対して\(\mid f(x_n) \; – \; f(x_0) \mid \le \varepsilon\)が成り立つため、仮定に矛盾します。

よって、\(f(x)\)は\(x_0\)で連続です。

 

次に、\(x_0\)で連続な関数どうしで和・差・積・商をとって出来た関数の連続性についての定理を与えます。

定理(連続と四則計算)
\(f:A  \to \mathbb{R}\)と\(g: \to \mathbb{R}\)は\(x_0 \in A\)連続で、\(\lambda\)は実数であるとする。このとき、以下の関数、

$$f(x) + g(x)$$
$$\lambda f(x)$$
$$f(x) \cdot g(x)$$
$$\frac{f(x)}{g(x)}  (ただし、g(x_0) \ne 0)$$

もまた、\(x_0\)で連続である。

(証明)

関数\(f(x)\)と\(g(x)\)はともに\(x_0\)で連続であるため、上に述べた定理が使えます。

そこで、\(x_0\)に収束する\(A\)の元の点列\(\{x_n\}\)をとります。上の定理から、\(n \to \infty\)のとき\(f(x_n) \to f(x_0)\)と\(g(x_n) \to g(x_0)\)にそれぞれ収束します。

このように、\(f(x_n)\)と\(g(x_n)\)が収束することから、\(f(x_n)+g(x_n) \to f(x_0)+f(x_0)\)となります。したがって、先に述べた定理から\(f(x)+g(x)\)は\(x_0\)で連続であることが得られます。

同様にして、\(f(x_n)\)と\(g(x_n)\)が収束する流れから\(\lambda f(x)\)と\(f(x) \cdot g(x)\)、\(f(x)/g(x) (ただし、g(x_0) \ne 0)\)も\(x_0\)に連続であることが分かります。