【1変数】部分列と集積点の定義とボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理の証明

部分列の定義

もとの数列から一部の項を取ってきた数列を部分列と言います。部分列を作るときには、取ってきた項の順序を入れ替えてはいけません。

定義(部分列)
ある増加写像\(\sigma : \mathbb N \to \mathbb N\)に対して、\(s’_n = s_{\sigma (n)}\)を満たすとき、

数列\(\{s’_n\}\)は数列\(\{s_{\sigma (n)}\}\)の部分列であるという。

ここで、増加写像の「増加」の意味は、\(n < m\)のとき\(\sigma (n) < \sigma (m)\)であるということです。例えば、部分列の第3項がもとの列において初めから数えて何番目かを知りたいとき、増加写像\(\sigma\)に3を入力すれば答えが返ってきます。

集積点の定義

定義(集積点)
数列\(\{s_n\}\)に部分列が存在して、その部分列が点\(s\)に収束したとする。

このとき、sを数列\(\{s_n\}\)の集積点という。

2つの定義を紹介したところで、いよいよボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理を証明しましょう。

ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理

ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理
有界列\(\{s_n\}\)には少なくとも1つの集積点が存在する。

証明

数列\(\{s_n\}\)は有界ですから、下限\(A_0 = \sup s_n\)および上限\(B_0 = \inf s_n\)が存在します。そこで、区間\(I_0 = [A_0, B_0]\)とおきます。

\(C_0 = (A_0 + B_0)/2\)として、2つの区間\([A_0, C_0]\)と\([C_0, B_0]\)を考えます。区間\(I_0\)の中に\(\{s_n\}\)のすべての項が収まっているため、少なくとも一方の区間には項が無限に含まれます。項を無限に含む区間の方を\(I_1 = [A_1, B_1]\)とおきましょう。2つの区間がともに項を無限に含む場合は、どちらか一方を選択して\(I_1\)とします。

次に、\(C_1 = (A_1 + B_1)/2\)として、2つの区間\([A_1, C_1]\)と\([C_1, B_1]\)を考えます。区間\(I_1\)の中に\(\{s_1\}\)の無限個の項が収まっているため、少なくとも一方の区間には項が無限に含まれます。項を無限に含む区間の方を\(I_2 = [A_2, B_2]\)とおきましょう。2つの区間がともに項を無限に含む場合は、どちらか一方を選択して\(I_2\)とします。

同様の手順を繰り返していけば、区間の列\(\{I_n\} = \{[A_n, B_n]\}\)が得られます。

この手順により得られた区間列の性質として、\([A_{n+k}, B_{n+k}]\)(\(k\)は自然数)はすべて\([A_n, B_n]\)の中に収まります。

したがって、区間の長さが公比\(1/2\)の等比数列であることにも注意すれば、以下の評価式を得ます。

$$ \begin{align} B_n-A_n &=\frac{1}{2}  (B_{n-1} \: – \: A_{n-1}) \\ &= \Bigl ( \frac{1}{2} \Bigr )^2 (B_{n-2} \: – \: A_{n-2}) \\ & \vdots \\ &= \Bigl ( \frac{1}{2} \Bigr )^n (B_0 \: – \: A_0) \end{align} $$

よって、\(B_n – A_n \to 0  (n \to \infty)\)です。

\(\{A_n\}\)は上に有界だから、\(\alpha = \sup A_n\)があります。一方、\(\{B_n\}\)は下に有界だから、\(\beta = \inf B_n\)があります。

\(\{B_n\}\)の各項が\(\{A_n\}\)の上界であることと、\(\alpha\)が\(\{A_n\}\)の最小上界であることより、\(\alpha \le B_n\)を得ます。

\(\alpha \le B_n\)より\(\alpha\)が\(\{B_n\}\)の下界であることと、\(\beta\)が\(\{B_n\}\)の最小上界であることより、\(\alpha \le \beta\)も得られます。

したがって、

$$A_n \le \alpha \le \beta \le B_n$$

の評価ができます。先に示した\(B_n – A_n \to 0  (n \to \infty)\)と併せて、\(\alpha = \beta\)となります。

そこで、\(\alpha\)に収束する部分列を作ることにします。

区間\(I_1\)に入っている数列\(\{s_n\}\)の項を任意に選んで\(s’_1 = s_{\sigma (1)}\)とします。続いて、区間\(I_2\)に入っている\(\{s_n\}\)の項を、\(s_{\sigma (1)}\)より後ろから選んで\(s’_2 = s_{\sigma (2)}\)とします。この手順を繰り返していけば、\(s’_n = s_{\sigma (n)}\)を得ます。

\(\alpha (=\beta )\)と\(s’_n\)は区間\(I_n\)に収まっているため、

$$ \begin{align} \mid s’_n \: – \: \alpha \mid &\le B _n \: – \: A _n \\ &=\frac{1}{2}  (B_{n-1} \: – \: A_{n-1}) \\ &= \Bigl ( \frac{1}{2} \Bigr )^2 (B_{n-2} \: – \: A_{n-2}) \\ & \vdots \\ &= \Bigl ( \frac{1}{2} \Bigr )^n (B_0 \: – \: A_0) \end{align} $$

の評価を得ます。したがって、こうして得られた部分列\(\{s’_n\}\)は\(\alpha\)に収束します。よって、\(\{s_n\}\)には集積点が存在することになります。