【1変数】無限級数の収束条件

無限級数

数列\(\{a_n\}\)に対して、

$$a_0 + a_1 + a_2 + \cdots \tag{1}$$

のように、各項を無限に足したものを無限級数と呼びます。

また、初項から有限個の項までを足した場合は部分和と呼び、

$$s_0=a_0, s_1=a_0+a_1,  \cdots ,  s_n = \sum_{i=0}^n a_i \tag{2}$$

のような部分和の数列を考えることもできます。

無限級数の収束を定義しましょう。

定義(無限級数の収束)
数列\(\{s_n\}\)が収束するとき、無限級数(1)は収束すると言って、

$$ \lim_{n \to \infty}s_n = \sum_{i=0}^\infty a_i$$

または

$$ \lim_{n \to \infty}s_n = \sum_{i \ge 0} a_i$$

で表す。

無限級数の収束条件

先の項で無限級数の収束を定義しましたが、コーシー列と収束列に関する定理と併せれば次の補題が得られます。

補題
無限級数(1)が実数の極限に収束することは、

$$\forall \varepsilon >0  \exists N \ge 0  \forall n \ge N  \forall k \ge 1  \mid s_{n+k} – s_n \mid < \varepsilon$$

すなわち、

$$\forall \varepsilon >0  \exists N \ge 0  \forall n \ge N  \forall k \ge 1  \mid a_{n+1} + a_{n+2} + \cdots + a_{n+k} \mid < \varepsilon$$

と同値である。

例えば、上の系で\(k=1\)のとき、

$$\forall \varepsilon >0  \exists N \ge 0  \forall n \ge N  \mid a_{n+1} \mid < \varepsilon$$

となりますから、数列\(\{a_n\}\)の一般項が\(0\)に収束することを意味しています。一般項が\(0\)に収束したとしても\(k=1\)の場合を示したに過ぎないので、無限級数が収束するとは言えません。

一般項が\(0\)に収束することは、無限級数が収束するための必要条件なのです。

ライプニッツの収束判定法

項の符号が交互に入れ替わる無限級数、

$$a_0 \; – \; a_1 + a_2 \; – \; a_3 + a_4 \; – \; \cdots \; = \sum_{i \ge 0} {(-1)}^ia_i \tag{3}$$

交代級数または交項級数と呼びます。

交代級数の収束判定についてはライプニッツによる定理があります。

定理(ライプニッツによる)
交代級数(3)のすべての項について、

$$a_i < 0,  a_{i+1} \le a_i,  \lim_{i \to \infty}a_i = 0$$

のとき、交代級数(3)はある実数\(s\)に収束し、部分和\(s_n\)とのあいだに以下の評価を得る。

$$\mid s \; – \; s_n \mid \le a_{n+1}$$

(証明)

\(s_n\)を交代級数の初項から第n項までの部分和とします。仮定より\(a_{2k} \; – \; a_{2k+1} \ge 0\)ですから、

$$s_{2k+1} = s_{2k-1} + a_{2k} \; – \; a_{2k+1} \ge s_{2k-1} $$

を得ます。同様にして、

$$s_{2k+2} = s_{2k} \; – \; a_{2k+1} + a_{2k+1} \le s_{2k} $$

が得られます。上2つの不等式と\(s_{2k+1} \le s_{2k}\)を組み合わせれば、

$$s_{2k-1} \le s_{2k+1} \le s_{2k+2} \le s_{2k}$$

の不等式が成り立ちます。これを繰り返し使えば、\(\forall k \ge 1\)に対して\(s_{n+k}\)が\(s_n\)と\(s_{n+1}\)のあいだにあることが分かりますから、

$$\begin{align}a_{n+1} &= \mid s_{n+1} \; – \; s_n \mid \\ &= \mid s_{n+1} \; – \; s_{n+k} + s_{n+k} \; – \; s_n \mid \\ &= \mid s_{n+1} \; – \; s_{n+k} \mid + \mid s_{n+k} \; – \; s_n \mid \\ &\ge \mid s_{n+k} \; – \; s_n \mid \end{align}$$

の不等式を得ます。仮定より\(a_{n+1}\)は\(0\)に収束しますから、上の不等式より部分和がコーシー列をなしていることがわかります。したがって、\(\mid s_{n+k} \; – \; s_n \mid\)も\(0\)に収束します。これは無限級数の収束条件を満たすことになります。

交代級数の収束と上の不等式\(\mid s_{n+k} \; – \; s_n \mid \le a_{n+1}\)が成り立つことから、

$$\mid s \; – \; s_n \mid \le a_{n+1}$$

も成り立つことが分かります。