【１変数】無限級数の収束条件

1 無限級数
2 無限級数の収束条件
3 ライプニッツの収束判定法

無限級数

数列$\{a_n\}$に対して、

$$a_0 + a_1 + a_2 + \cdots \tag{1}$$

のように各項を無限に足したものを、無限級数と呼びます。

また、初項から有限個分までの項を足した場合は部分和と呼び、

$$s_0=a_0,　s_1=a_0+a_1, 　\cdots , 　s_n = \sum_{i=0}^n a_i \tag{2}$$

のような部分和の数列を考えることもできます。

無限級数の収束を定義しましょう。

定義（無限級数の収束）

数列$\{s_n\}$が収束するとき、無限級数(1)は収束するといって、

$$ \lim_{n \to \infty}s_n = \sum_{i=0}^\infty a_i$$

または

$$ \lim_{n \to \infty}s_n = \sum_{i \ge 0} a_i$$

で表す。

無限級数の収束条件

先の項で無限級数の収束を定義しましたが、コーシー列と収束列に関する定理をあわせることで、次の補題が得られます。

補題

無限級数(1)が実数の極限に収束することは、

$$\forall \varepsilon \gt 0 \;\;\; \exists N \ge 0 \;\;\; \forall n \ge N \;\;\; \forall k \ge 1 \;\;\; \mid s_{n+k} – s_n \mid \lt \varepsilon$$

すなわち、

$$\forall \varepsilon \gt 0 \;\;\; \exists N \ge 0 \;\;\; \forall n \ge N \;\;\; \forall k \ge 1 \;\;\; \mid a_{n+1} + a_{n+2} + \cdots + a_{n+k} \mid \lt \varepsilon$$

と同値である。

例えば、上の補題で$k=1$のとき、

$$\forall \varepsilon \gt 0 \;\;\; \exists N \ge 0 \;\;\; \forall n \ge N \;\;\; \mid a_{n+1} \mid \lt \varepsilon$$

となりますから、数列$\{a_n\}$の一般項が$0$に収束することを意味しています。$a_n$が$0$に収束したとしても、補題における$k=1$の場合を示したに過ぎないので、これだけで無限級数が収束するとはいえません。

$a_n$が$0$に収束することは、無限級数が収束するための必要条件なのです。

ライプニッツの収束判定法

項の符号が交互に入れ替わる無限級数、

$$a_0 \; – \; a_1 + a_2 \; – \; a_3 + a_4 \; – \; \cdots \; = \sum_{i \ge 0} {(-1)}^ia_i \tag{3}$$

を交代級数または交項級数と呼びます。

交代級数の収束判定についてはライプニッツによる定理があります。

定理（ライプニッツによる）

交代級数(3)のすべての項について、

$$a_i \gt 0, \;\;\; a_{i+1} \le a_i, \;\;\; \lim_{i \to \infty}a_i = 0$$

のとき、交代級数(3)はある実数$s$に収束し、部分和$s_n$とのあいだに以下の評価を得る。

$$\mid s \; – \; s_n \mid \le a_{n+1}$$

証明

$s_n$を交代級数の初項から第n項までの部分和とします。仮定より$a_{2k} \; – \; a_{2k+1} \ge 0$ですから、

$$s_{2k+1} = s_{2k-1} + a_{2k} \; – \; a_{2k+1} \ge s_{2k-1} $$

を得ます。同様にして、

$$s_{2k+2} = s_{2k} \; – \; a_{2k+1} + a_{2k+1} \le s_{2k} $$

が得られます。上2つの不等式と$s_{2k+1} \le s_{2k+2}$より、

$$s_{2k-1} \le s_{2k+1} \le s_{2k+2} \le s_{2k}$$

の不等式が成り立ちます。これを繰り返し使えば、$\forall k \ge 1$に対して$s_{n+k}$が$s_n$と$s_{n+1}$のあいだにあることが分かりますから、

$$\begin{align}a_{n+1} &= \mid s_{n+1} \; – \; s_n \mid \\ &= \mid s_{n+1} \; – \; s_{n+k} + s_{n+k} \; – \; s_n \mid \\ &= \mid s_{n+1} \; – \; s_{n+k} \mid + \mid s_{n+k} \; – \; s_n \mid \\ &\ge \mid s_{n+k} \; – \; s_n \mid \end{align} \tag{4}$$

の不等式を得ます。仮定より$a_{n+1}$は$0$に収束しますから、上の不等式より$\{s_n\}$がコーシー列であると分かって、$\{s_n\}$はある実数$s$に収束します。

また、$n$の値を固定して数列$\{b_k\} = \{ \mid s_{n+k} – s_n \mid \}$を考えると、$\{s_{n+k}\}$は$s$に収束するので$\{b_k\}$は$ \mid s – s_n \mid $に収束します。すると、(4)式より$b_k \le a_{n+1}$ですから、$\{b_k\}$の極限である$ \mid s – s_n \mid $についても、

$$\mid s \; – \; s_n \mid \le a_{n+1}$$

が成り立つことが分かります。

（証明終）