2つの収束する数列の各項どうしについて和、差、積、商をとった結果できる数列もまた、収束します。
$$\lim_{n \to \infty}(s_n \pm v_n) = s \pm v \tag{1}$$
$$\lim_{n \to \infty}(s_n \cdot v_n) = s \cdot v \tag{2}$$
(1)の証明
まずは三角不等式から以下の評価を得ます。
任意の\(\varepsilon^\prime > 0\)に対して、\(\varepsilon^\prime = 2\varepsilon\)となるように\(\varepsilon > 0\)をとります。それに対して数列\(\{s_n\}\)と\(\{v_n\}\)は収束しますから、
および
が成り立ちます。そこで、\(N = \max \{ N_1, N_2 \}\)をとれば、任意の\(\varepsilon^\prime\)に対して自然数\(N\)が存在して、すべての\(n \ge N\)において、
が成り立ちます。したがって、\(s_n + v_n \to s + v\)が成り立ちます。収束列の各項の差についても同様の議論で成立が確かめられます。
(2)の証明
数列\(\{s_n\}\)は収束するため、全ての自然数\(n\)に対して\(\mid s_n \mid \le B \,\)であるような\(B\)をおくことができます。
数列\(\{s_nv_n\}\)について、
のように評価することが出来ます。
要は、任意の\(\varepsilon ^ \prime > 0\)に対して上式を満たす\(\varepsilon > 0\)をおけば、十分大きな自然数\(n\)において\(\mid s_nv_n \; – \; sv \; \mid < \varepsilon ^ prime \)を得ることが出来るわけです。
(3)の証明
まず、\(v_n = 1\)の場合を考えます。
数列\(\{s_n\}\)は収束するため、全ての自然数\(n\)に対して\(\mid s_n \mid \le B \,\)であるような\(B\)をおくことができます。
これまでと同様にして、任意の\(\varepsilon ^ \prime \)に対して\(\varepsilon\)が存在して、自然数\(n\)を十分大きくとれば、
$$ \begin{align} \mid \frac{s_n}{v_n} \; – \; \frac{s}{v} \mid &= \mid \frac{1}{v_n} \; – \; \frac{1}{v_n} \mid \\ &= \mid \frac{v \; – \; v_n}{v_n v} \mid \\ &= \frac{\mid v \; – \; v_n \mid}{\mid v_n \mid \cdot \mid v \; \mid} \\ &< \frac{\varepsilon}{B \mid v \; \mid} \\ &= \varepsilon ^ \prime \end{align}$$
の評価が得られるため、\(1/v_n \to 1/v\)が成り立ちます。
そこで、\(s_n/v_n\)の極限を\(s_n \cdot 1/v_n\)の極限とみなせば、(2)の積の極限に帰着することが出来て(3)は成立します。