【1変数】2つの収束列のあいだで和、積、商をとった数列も収束する

2つの収束する数列の各項どうしについて和、差、積、商をとった結果できる数列もまた、収束します。

定理(収束列の極限の計算)
2つの収束列が\(s_n \to s\)、\(v_n \to v\)のとき、

$$\lim_{n \to \infty}(s_n \pm v_n) = s \pm v \tag{1}$$

$$\lim_{n \to \infty}(s_n \cdot v_n) = s \cdot v \tag{2}$$

$$\lim_{n \to \infty} \Bigl ( \frac{s_n}{v_n} \Bigr ) = \frac{s}{v}  (v_n \neq 0, v \neq 0) \tag{3}$$

(1)の証明

まずは三角不等式から以下の評価を得ます。

$$\begin{align} \mid ( s_n + v_n ) \; – \; ( s + v ) \mid &= \mid s_n \; – \; s + v_n \; – \; v \; \mid \\ &\le \mid s_n \; – \; s \mid + \mid v_n \; – \; v \; \mid \end{align}$$

任意の\(\varepsilon^\prime > 0\)に対して、\(\varepsilon^\prime = 2\varepsilon\)となるように\(\varepsilon > 0\)をとります。それに対して数列\(\{s_n\}\)と\(\{v_n\}\)は収束しますから、

$$\exists N_1 \ge 1  \forall n \ge N_1  \mid s_n \; – \; s \mid < \varepsilon$$

および

$$\exists N_2 \ge 1  \forall n \ge N_2  \mid v_n \; – \; v \mid < \varepsilon$$

が成り立ちます。そこで、\(N = \max \{ N_1, N_2 \}\)をとれば、任意の\(\varepsilon^\prime\)に対して自然数\(N\)が存在して、すべての\(n \ge N\)において、

$$\begin{align} \mid ( s_n + v_n ) \; – \; ( s + v ) \mid &= \mid s_n \; – \; s + v_n \; – \; v \; \mid \\ &\le \mid s_n \; – \; s \mid + \mid v_n \; – \; v \; \mid \\ &< \varepsilon + \varepsilon \\ &= \varepsilon^\prime \end{align}$$

が成り立ちます。したがって、\(s_n + v_n \to s + v\)が成り立ちます。収束列の各項の差についても同様の議論で成立が確かめられます。

(2)の証明

数列\(\{s_n\}\)は収束するため、全ての自然数\(n\)に対して\(\mid s_n \mid \le B \,\)であるような\(B\)をおくことができます。

数列\(\{s_nv_n\}\)について、

$$\begin{align} \mid s_nv_n \; – \; sv \; \mid &= \mid s_nv_n \; – \; sv_n + sv_n \; – \; sv \; \mid \\ &\le \mid s_nv_n \; – \; sv_n \mid + \mid sv_n \; – \; sv \; \mid \\ &= \mid v_n \mid \cdot \mid s_n \; – \; s \mid + \mid s \mid \cdot \mid v_n \; – \; v \; \mid \\ &< B \, \varepsilon \; + \mid s \mid \varepsilon \\ &= (B \; + \mid s \mid ) \; \varepsilon \\ &= \varepsilon ^ \prime \end{align}$$

のように評価することが出来ます。

要は、任意の\(\varepsilon ^ \prime > 0\)に対して上式を満たす\(\varepsilon > 0\)をおけば、十分大きな自然数\(n\)において\(\mid s_nv_n \; – \; sv \; \mid < \varepsilon ^ prime \)を得ることが出来るわけです。

(3)の証明

まず、\(v_n = 1\)の場合を考えます。

数列\(\{s_n\}\)は収束するため、全ての自然数\(n\)に対して\(\mid s_n \mid \le B \,\)であるような\(B\)をおくことができます。

これまでと同様にして、任意の\(\varepsilon ^ \prime \)に対して\(\varepsilon\)が存在して、自然数\(n\)を十分大きくとれば、

$$ \begin{align} \mid \frac{s_n}{v_n} \; – \; \frac{s}{v} \mid &= \mid \frac{1}{v_n} \; – \; \frac{1}{v_n} \mid \\ &= \mid \frac{v \; – \; v_n}{v_n v} \mid \\ &= \frac{\mid v \; – \; v_n \mid}{\mid v_n \mid \cdot \mid v \; \mid} \\ &< \frac{\varepsilon}{B \mid v \; \mid} \\ &= \varepsilon ^ \prime \end{align}$$

の評価が得られるため、\(1/v_n \to 1/v\)が成り立ちます。

そこで、\(s_n/v_n\)の極限を\(s_n \cdot 1/v_n\)の極限とみなせば、(2)の積の極限に帰着することが出来て(3)は成立します。