今回は、1変数の実数について数列の定義からはじめて、数列の収束と発散についても定義します。
最後に、「収束する数列は有界である」定理を証明します。
数列の定義
まずは数列を定義します。
すべての自然数\(n\)に対して数\(s_n\)が与えられたとき、これを(無限)数列といって、
$$ \{s_n\} = \{s_1, s_2, s_3, \cdots\} \tag{1}$$
のように書きます。この数列\(\{s_n\}\)の\(n\)番目の数を、第\(n\)項や一般項などと呼びます。
数列の収束
数列の項\(s_n\)が、十分大きな\(n\)に対してある数\(s\)に任意の近さで近づくとき、この数\(s\)を数列の極限といいます。
ただし、「十分大きな」や「任意の近さで」などの表現では曖昧なところもあるため、厳密に言い表し直す必要があります。
このことを踏まえて、改めて数列の収束を定義しましょう。
が成り立つとき、数列が\(s\)に収束するといって、
とかく。
このとき、\(\forall\)は「すべての」を、\(\exists\)は「ある~が存在して」を意味していて、量化子と呼ばれる記号です。
式(2)を日本語で言い換えると、
になります。
数列の発散
また、どんな\(s\)に対しても式(4)が成り立たないとき、数列\(\{s_n\}\)は発散するといいます。
特に、
が成り立つとき、数列\(\{s_n\}\)は無限大に発散するといって、
とかく。
数列の収束と有界
ここで数列\(\{s_n\}\)が有界であるとは、
$$\exists B \forall n \ge 1 |s_n| \le B \tag{6}$$
を満たす。
式(6)は、「ある数\(B\)が存在して、すべての自然数\(n\)に対して\(s_n\)の絶対値が\(B\)以下である。」を意味しています。
証明
仮定より数列\(\{s_n\}\)は収束します。
この数列が数\(s\)に収束するとして、\(\varepsilon\)を\(1\)とおくと、すべての自然数\(m \ge N\)に対して\(|s_m – s| \le 1\)となるような自然数\(N\)が存在します。
三角不等式を利用して、
を得ます。第\(N\)番目以降の項はすべて\(1 + |s|\)以下であることが分かったため、
とおけば、\(|s_n| \le B\)となります。このとき、\(max \{\cdot\}\)は\(\{\cdot\}\)内の最大値を返します。
一方で、数列\(\{s_n\}\)が有界であっても、数列\(\{s_n\}\)が収束するとは限らないことを示します。
例えば以下の数列、
$$ \{a_n\} = \{0, 1, 0, 1, 0, \cdots\} \tag{7}$$
は\(B=1\)で有界であると分かりますが、収束はしませんね。
よって、数列\(\{s_n\}\)が収束することは、数列\(\{s_n\}\)が有界であるための十分条件になります。
(証明終)
もう1つ有益な定理を紹介しておきます。
証明
背理法により示します。
\(s >B\)を仮定します。数列\(\{s_n\}\)は\(s\)に収束することから、
が成り立ちます。
\(s >B\)を仮定したので\(s \: – B > 0\)ですから、\(\varepsilon = s \: – B\)を上式に代入することができて、
が成り立ちます。
最左辺と最右辺を比較すれば\(s_n > B\)を得るのですが、これは仮定の\(s_n \le B\)に矛盾します。
(証明終)