『【１変数】コーシー列の定義から実数の構成までを解説』の記事では、コーシー列の定義から実数の構成までを解説しました。 今回は、続いて実数の和や積、順序、絶対値についての定義を紹介していきたいと思います。分からない記号が出…

前回の記事では、コーシー列を定義してから実数の構成を概観しました。 なぜこの２つを解説したかというと、今回紹介する実数列の収束とコーシー列に関する定理を証明するにあたって、実数を構成しておく必要があったからです。 それで…

今回は積分可能であるための定理を２つ紹介します。それにあたって、前回までの２つの記事が前提になっているので読んでおくことをお勧めします。 連続関数は積分可能である 証明 まず、 \(f : [a,b] \to \math…

前回の記事では、リーマン積分可能な関数を定義しました。今回は、関数の定数倍や絶対値、積分どうしの和・積・商が積分可能であるかどうかについて解説します。 今回もリーマンの意味での積分を扱うにあたって、引き続き以下の関数に限…

今回はリーマン積分を定義し、リーマン積分が可能であるための必要十分条件に関する定理を紹介します。 この記事では、以下のように有界な関数\(f\)を仮定します。 閉区間\([a,b]=\{x \vert s \le x \…

関数の連続性のほかに、一様連続性という概念があります。 これを関数の連続性と比較してみまよう。関数\(f(x)\)が\(x_0\)で連続であるとは、 $$\forall \varepsilon > 0 　\exis…

関数列と各点収束 関数列\(f_1,f_2,f_3, \cdots \: : \: A \to \mathbb{R}\)について考えましょう。このとき、\(A\)は実数体\(\mathbb{R}\)の部分集合です。 具体…

関数の極限を定義する前に、集合における集積点を定義します。 \(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)について、 $$\forall \delta > 0 　\exists x \in A 　0 < \…

最大値の定理（最大値・最小値の定理）は、平均値の定理や一様連続に関する定理を証明するのに利用されます。 証明 まずは\(f(x)\)が\([a,b]\)上で有界であることを、背理法により示します。 \(f(x)\)が\(…

中間値の定理を以下に示します。 証明 まずは\(c=0\)のときを示します。 \(X=\{x \in [a,b] \, ; \: f(x)<0\}\)は上に有界な空でない実数の集合であるため、上限\(\sup X\…