前回の記事ではリーマン積分可能な関数を定義しました。今回は関数の定数倍や絶対値、積分どうしの和・積・商が積分可能であるかどうかについて解説します。
今回もリーマンの意味での積分を扱うにあたって、引き続き以下の関数に限定して考えます。
すなわち、閉区間\([a,b]=\{x \vert s \le x \le b\}\)上で有界な関数\(f \: : \: [a,b] \to \mathbb{R}\)は、
を満たしているとします。
も積分可能である。
証明
\(a = x_0 \lt x_1 \lt x_2 \lt \cdots \lt x_n =b\)を満たすように分割の集合、
を置きます。そして、部分区間の長さを\(\delta_i = x_i – x_{i-1}\)で定義します(\(1 \le i \le n\))。また、\(f_i\)と\(F_i\)を、
のように定義します。
その定義から、すべての\(\varepsilon \gt 0\)に対して\(\xi , \eta \in [x_{i-1},x_i]\)が存在して、\(f(\xi ) \gt F_i \: – \: \varepsilon \)と\(f(\eta ) \lt f_i + \varepsilon\)が成り立ちます。
したがって、2つの不等式から\(f(\xi ) \: – \: f(\eta ) \gt F_i \: – \: f_i \: – \: 2\varepsilon\)を得ます。
これは\(F_i \: – \: f_i\)が\(\mid f(x) \: – \: f(y) \mid\)の上限であることを意味しています。すなわち、
が成立します。
目次
積分可能な関数の和も積分可能である
それではまず、\(f + g\)の証明から始めます。
関数\(h(x) = f(x) + g(x)\)とします。さらに、(1)式と同様に、\(f,g\)の上限を\(G_i,H_i\)、下限を\(f_i,h_i\)と置きます。すると、\(x,y \in [x_{i-1},x_i]\)に対して三角不等式と(2)式を利用すれば、以下の評価が得られます。
また、(2)式より\(\mid h(x) \: – h(y) \mid \le H_i \: – h_i\)ですから、これと(3)式を組み合わせて、
を得ます。(4)式を(\(1 \le i \le n\))の範囲で和をとって、
\(f\)と\(g\)はともに積分可能ですから、上ダルブー和と下ダルブー和の差を任意に小さくすることが出来ます。したがって、与えられた\(\varepsilon \gt \)に対して、
が成り立ちます。(5)式と(6)式を組み合わせれば、
を得ます。これは\(h\)の上ダルブー和と下ダルブー和の差も任意に小さく出来ることを意味しているため、\(f + g\)も積分可能です。
積分可能な関数の定数倍も積分可能である
次に、\(\lambda \cdot f\)の証明です。\(h(x) = \lambda \cdot f(x)\)とすれば、流れは\(f + g\)の証明と同じで、(3)式の評価が以下のように変更されます。
したがって、(4)式に相当する式、
が得られます。これによって\(\lambda \cdot f\)も積分可能であることが分かります。
積分可能な関数の積も積分可能である
そして、\(h(x) =f(x) \cdot g(x)\)の積分可能性についてです。これまでと同じように\(\mid h(x) – h(y) \mid\)を評価すれば、
が得られます。このとき、\(f\)と\(g\)は有界なので\(\vert f(x) \vert \le M\)と\(\vert g(x) \vert \le N\)が成り立っています。
このことから、
が得られて、最終的に\(f \cdot g\)も積分可能であることが示されるのです。
積分可能な関数の商も積分可能である
最後に\(f/g\)が積分可能であることを証明しましょう。
\(1/g(x)\)が積分可能であることを示せれば、あとは\(f/g\)を割り算でなく掛け算\(f\cdot 1/g\)とみなしてあげれば済みます。
\(h(x) = 1/g(x)\)と置いてあげれば、
となって積分可能であることが証明されます。
積分可能な関数の絶対値も積分可能である
\(\vert f \vert\)の積分可能性についても同じく\(h(x) = \vert f(x) \vert \)とおけば、
が得られるため、これまで通りの方法で積分可能であることが示されます。