関数の極限を定義する前に、集合における集積点を定義します。
\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)について、
$$\forall \delta > 0 \exists x \in A 0 < \mid x \; – \; x_0 \mid < \delta \tag{1}$$
が成り立つとき、点\(x_0\)を集合\(A\)の集積点といいます。
定義（関数の極限）
\(f : A \to \mathbb{R}\)と、\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)における集積点\(x_0\)を考える。
$$\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall x \in A \: : \: 0 < \mid x \; – \; x_0 \mid < \delta \mid f(x) \; – \; y_0 \mid < \varepsilon \tag{2}$$
が成り立つとき、\(f(x)\)の\(x_0\)における極限が存在し、その極限は\(y_0\)である。このことを、
$$\lim_{x \to x_0} f(x) = y_0 \tag{3}$$
と表す。
関数の極限を定義することによって、数列\(\{x_n\}_{n \ge 1}, x_n \in A\)を使わずに関数\(f(x)\)が\(x_0\)で連続であることを、
$$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \tag{4}$$
の成立で確認することが出来ます。
また、先に定義した関数の極限よりも条件の弱い、片側極限も定義されます。
定義（片側極限）
\(f : A \to \mathbb{R}\)と、\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)における集積点\(x_0\)を考える。
$$\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall x \in A \: : \: 0 < x \; – \; x_0 < \delta \mid f(x) \; – \; y_0 \mid < \varepsilon \tag{5}$$
が成り立つとき、\(f(x)\)の\(x_0\)における右極限が存在し、その右極限は\(y_0\)である。このことを、
$$\lim_{x \to x_0+} f(x) = y_0 \tag{6}$$
と表す。
また、
$$\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall x \in A \: : \: 0 < x_0 \; – \; x < \delta \mid f(x) \; – \; y_0 \mid < \varepsilon \tag{7}$$
が成り立つとき、\(f(x)\)の\(x_0\)における左極限が存在し、その左極限は\(y_0\)である。このことを、
$$\lim_{x \to x_0-} f(x) = y_0 \tag{8}$$
と表す。
次の定理は、関数の極限が存在するための必要十分条件を与えています。
定理（デデキント(1872)）
$$\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 \quad\forall x, \hat{x} \: : \: \begin{array}{ccc} 0 \lt \mid x – x_0 \mid \lt \delta \\ 0 < \mid \hat{x} – x_0 \mid < \delta\end{array} \qquad\mid f(x) \; – \; f(\hat{x}) \mid \lt \varepsilon \tag{9}$$
であることは、関数の極限\(\lim_{x \to x_0}f(x)\)が存在するための必要十分条件である。
（証明）
まずは必要性を示します。関数の極限\(\lim_{x \to x_0}f(x) = y_0\)が存在するとします。
$$\begin{align}\mid f(x) \; – \; f(\hat{x}) \mid &= \mid f(x) \; – \; y_0 + y_0 – f(\hat{x}) \mid \\ &\le \mid f(x) \; – \; y_0 \mid + \mid y_0 \; – \; f(\hat{x}) \mid \\ & \lt 2\varepsilon \\ &= \varepsilon ^\prime\end{align}$$
任意の\(\varepsilon ^\prime \gt 0\)に対して\(\varepsilon ^\prime = 2\varepsilon\)となる\(\varepsilon\)をとれば、関数の極限が存在する仮定から上式の評価を得ることが出来ます。
\(\mid f(x) \; – \; f(\hat{x}) \mid\)が任意の\(\varepsilon ^\prime \gt 0\)により上から押さえられているため、(9)式は成立します。
次に十分性を示します。(2)式が成立しているとします。
まず、\(x_0\)に収束する点列\(\{x_i\}\)を\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)から取り出してきます。
(2)式より、\(\{y_i ; y_i = f(x_i)\}\)はコーシー列の定義を満たしているため収束し、その極限を\(y_0\)とします。
$$\begin{align}\mid f(x) \; – \; y_0 \mid &= \mid f(x) \; – \; f(x_i) + f(x_i) \; – \; y_0 \mid \\ & \le \mid f(x) \; – \; f(x_i) \mid + \mid f(x_i) \; – \; y_0 \mid \\ &\lt 2\varepsilon \\ &= \varepsilon ^\prime \end{align}$$
すると、任意の\(\varepsilon ^\prime >0\)に対して\(\varepsilon ^\prime =2\varepsilon\)となる\(\varepsilon\)をとれば、\(\mid x – x_0 \mid\)を満たす\(x\)と十分大きな\(i\)に対して、上式の評価を得ることが出来ます。
\(\mid f(x) \; – \; y_0 \mid\)が任意の\(\varepsilon ^\prime >0\)により上から押さえられているため、関数\(f(x)\)は\(x \to x_0\)のとき\(f(x) \to y_0\)となって収束します。
以上より、定理は証明されました。
（証明終）
