【1変数】中間値の定理とその証明

中間値の定理を以下に示します。

定理(ボルツァーノによる(1817))
\(f:[a,b] \to \mathbb{R}\)を連続な関数とする。

実数\(c\)について、\(f(a) < c < f(b)\)であれば、ある\(\xi \in [a,b]\)が存在して、\(f(\xi ) = c\)となる。

(証明)

まずは\(c=0\)のときを示します。

\(X=\{x \in [a,b] \, ; \: f(x)<0\}\)は上に有界な空でない実数の集合であるため、上限\(\sup X\)が存在します。その上限を\(\xi\)とおきます。

そこで\(f(\xi )=0\)であることを示します。証明方法は背理法によります。

\(f( \xi ) = K >0\)であると仮定します。\(f(x)\)は\(\xi\)で連続です。したがって、\(\varepsilon = K/2\)とおくと、ある\(\delta >0\)が存在して、\(\mid x – \xi \mid < \delta\)の範囲で、\(\mid f(x) – K \mid < K/2\)が成り立ちます。

絶対値を外して言い直せば、\(\xi – \delta < x < \xi + \delta\)において\(0 < K/2 < f(x) < 3K/2\)が成り立つことになります。ところが、\(xi\)が\(f(x)<0\)を満たすxの集合の上限であるにも関わらず、\(\xi – \delta < x \le \xi \)において\(f(x)>0\)であることから矛盾します。

次に、\(f( \xi ) = K <0\)を仮定します。\(f(x)\)は\(\xi\)で連続です。したがって、\(\varepsilon = K/2\)とおくと、ある\(\delta >0\)が存在して、\(\mid x – \xi \mid < \delta\)の範囲で、\(\mid f(x) – K \mid < K/2\)が成り立ちます。

絶対値を外して言い直せば、\(\xi – \delta < x < \xi + \delta\)において\(K/2 < f(x) < 3K/2 < 0\)が成り立つことになります。ところが、\(\xi\)が\(f(x)<0\)を満たす\(x\)の集合の上限であるにも関わらず、\(\xi < x \le \xi + \delta\)において\(f(x)<0\)であることから矛盾します。

以上より、\(c=0\)のとき\(f(\xi )=0\)、すなわち\(f(\xi ) = c\)が成立します。

次に、\(c \ne 0\)のときについてはまず関数\(g(x) = f(x) – c\)をおきます。すると、\(g(\xi )=0\)が言えれば\(f(\xi ) = c\)となるわけですが、\(g(\xi )=0\)は先の議論から明らかです。したがって、\(c \ne 0\)においても定理が成り立ちます。