【１変数】中間値の定理とその証明

中間値の定理を以下に示します。

定理（ボルツァーノによる(1817)）

$f:[a,b] \to \mathbb{R}$を連続な関数とする。

実数$c$が$f(a) \lt c \lt f(b)$であれば、ある$\xi \in [a,b]$が存在して$f(\xi ) = c$となる。

証明

まずは$c=0$のときを示します。

$X=\{x \in [a,b] \, ; \: f(x)<0\}$は上に有界な空でない実数の集合であるため、上限$\sup X$が存在します。この上限を$\xi$とおきます。

そこでまず、$f(\xi )=0$であることを背理法により示します。

$f( \xi ) = K >0$であると仮定します。$f(x)$は$\xi$で連続ですから、

$$\exists \delta \gt 0 \;\;\; \forall x \in [a, b] \; : \;\; \mid x – \xi \mid \lt \delta \;\;\;\;\; \mid f(x) – K \mid < K/2$$

となります。絶対値を外せば、$\xi – \delta < x < \xi + \delta$において$0 < K/2 < f(x) < 3K/2$が成り立つことがいえます。

ところが、$\xi$が$f(x)<0$を満たすxの集合の上限であるにも関わらず、$\xi – \delta < x \le \xi $において$f(x)>0$となってしまうことから矛盾が生じます。

次に、$f( \xi ) = K <0$を仮定します。$f(x)$は$\xi$で連続ですから、

$$\exists \delta \gt 0 \;\;\; \forall x \in [a, b] \; : \;\; \mid x – \xi \mid \lt \delta \;\;\;\;\; \mid f(x) – K \mid < K/2$$

となります。絶対値を外せば、$\xi – \delta < x < \xi + \delta$において$K/2 < f(x) < 3K/2 < 0$が成り立つことがいえます。

ところが、$\xi$が$f(x)<0$を満たす$x$の集合の上限であるにも関わらず、$\xi < x \le \xi + \delta$においても$f(x)<0$となってしまうことから矛盾が生じます。

以上より、$f(\xi )=0$であることを示せたので、$c=0$の場合には$f(\xi ) = c$が成り立ちます。

続いて、$c \ne 0$のときにも$f(\xi ) = c$であることを示します。

$g(x) = f(x) – c$とおきます。すると、$g$も$[a,b] \to \mathbb{R}$の連続な関数で、仮定から$g(a) \lt 0 \lt g(b)$が成り立ちます。$c=0$のときに中間値の定理が成り立つことは先の議論で証明したので、$g(\xi )=0$を満たす$\xi \in [a,b]$が存在します。

$g(\xi )=0$がいえたので、$f(\xi)-c=0$、すなわち $f(\xi ) = c$です。したがって、$c \ne 0$においても$f(\xi ) = c$が成り立ちます。

（証明終）