今回は競合阻害と不競合阻害の両方の形式をもつ混合阻害について、酵素反応の反応速度を導出しデータ解析手法を考えていきます。また、以下の記事をあらかじめ読んでおくと理解の助けになると思います。
- 酵素反応の速度を論じるために必要な化学反応速度論のキホンを解説
- ミカエリス・メンテンの式を導出｜実際の実験データから反応初速度をプロット
- ラインウィーバー・バークプロットなどを用いた反応速度データの解析法を解説
- 競合阻害におけるミカエリス・メンテン式を導出｜ラインウィーバー・バークプロットも
- 不競合阻害におけるミカエリス・メンテン式を導出｜おなじみラインウィーバー・バークプロットも
反応速度
混合阻害剤を加えた時の反応は以下のように模式的に表されます。
混合阻害では阻害剤が酵素と酵素-基質複合体の両方に結合する形式です。阻害剤の反応は平衡状態に達してると仮定し平衡定数をおきます。
$$K_I=\frac{[E][I]}{[EI]}\tag{1}$$
$$K’_I=\frac{[ES][I]}{[ESI]}\tag{2}$$
また、上の模式図を見ればわかりますが、簡単のためにEIはSと結合してESIにはならないとします。
酵素の全濃度を\([E]_t\)とおけば、
$$[E]_t=[E]+[EI]+[ES]+[ESI]\tag{3}$$
[ES]と[ESI]の項を消去するために(1)式と(2)式をそれぞれ[EI]=と[ESI]=の形に式変形します。
$$[EI]=\frac{[E][I]}{K_I}$$
$$[ESI]=\frac{[ES][I]}{K’_I}$$
これらを(3)式に代入します。
$$[E]_t=[E]+\frac{[E][I]}{K_I}+[ES]+\frac{[ES][I]}{K’_I}$$
$$[E]_t=[E](1+\frac{[I]}{K_I})+[ES](1+\frac{[I]}{K’_I})\tag{4}$$
競合阻害と不競合阻害のようにαとα’を定義します。
$$α=1+\frac{[I]}{K_I}$$
$$α’=1+\frac{[I]}{K’_I}$$
これを用いると(4)式は、
$$[E]_t=[E]α+[ES]α’\tag{5}$$
次に[E]を消去することを考えます。
定常状態を仮定するためESの正味の生成速度は０になるから（参考：ミカエリス・メンテンの式を導出）、
$$\frac{d[ES]}{dt}=k_1[E][S]-k_{-1}[ES]-k_2[ES] = 0$$
これを[E]について解いて、
$$[E]=\frac{(k_{-1}+k_2)[ES]}{k_1[S]}=\frac{K_M[ES]}{[S]}$$
(5)式に代入します。
$$[E]_t=\frac{K_M[ES]}{[S]}α+[ES]α’$$
$$[E]_t=[ES](\frac{K_M}{[S]}α+α’)$$
$$[ES]=\frac{[E]_t}{\frac{K_M}{[S]}α+α’}$$
反応速度\(v_0\)は、
$$v_0=k_2[ES]=k_２\frac{[E]_t}{\frac{K_M}{[S]}α+α’}$$
反応最大速度\(V_{max}=k_2[E]_t\)も代入して、
$$v_0=\frac{V_{max}}{\frac{K_M}{[S]}α+α’}$$
これが混合阻害のミカエリス・メンテン式です。まさに競合阻害と不競合阻害のミカエリス・メンテン式を合わせたかのような式になりました。
ラインウィーバー・バークプロット
逆数をとってラインウィーバー・バークプロットの式にしましょう。
$$\frac{1}{v_0}=(\frac{αK_M}{V_{max}})\frac{1}{[S]}+\frac{α’}{V_{max}}$$
混合阻害剤を加えたときのラインウィーバー・バークプロット グラフの交点のy座標を見ると、α=α’のとき交点がx軸上に位置することがわかる。
