【１変数】リーマン積分可能な関数であるための定理

今回は積分可能であるための定理を２つ紹介します。それにあたって、前回までの２つの記事が前提になっているので読んでおくことをお勧めします。

【１変数】リーマン積分の定義と判定条件・リーマン和をわかりやすく解説

2019年9月22日

【１変数】リーマン積分可能な関数

2019年9月29日

1 連続関数は積分可能である
2 単調増加（単調減少）な関数は積分可能である

連続関数は積分可能である

定理１

$f : [a,b] \to \mathbb{R}$が連続のとき、$f$は積分可能である。

証明

まず、 $f : [a,b] \to \mathbb{R}$が連続であることから、$f$は$[a,b]$上で一様連続です。一様連続であるということは、すべての$\varepsilon \gt 0$に対して$\delta \gt 0$が存在して、

$$\mid x – y \mid \lt \delta \to \mid f(x) – f(y) \mid \lt \varepsilon \tag{1}$$

を満たしています。$\max_{\; i} \delta_i \le \delta$を満たす分割$D$をとると、$x,y \in [x_{i-1}, x_{i}]$に対して、

$$F_i \: – f_i = \sup_{s,y \in [x_{i-1},x_i]}\mid f(x) \: – f(y) \; \mid \tag{2}$$

が成り立ちます（参考：【１変数】リーマン積分可能な関数の(2)式参照）。

ですから、(1)式と(2)式を組み合わせれば、$F_i \: – f_i \le \varepsilon$が得られます。これにより、

$$\begin{align} S(D) – s(D) &= \sum_{i=1}^{n}(F_i -f_i)\delta_i \\ &\le \sum_{i=1}^{n}\varepsilon \delta_i \\ &= \varepsilon (b-a) \end{align}$$

を得ます。これは上ダルブー和とと下ダルブー和の差を任意に小さく出来ることを意味しているので、$f(x)$は$[a,b]$上で積分可能です。

（証明終）

単調増加（単調減少）な関数は積分可能である

定理２

$f : [a,b] \to \mathbb{R}$が単調増加あるいは単調減少であれば、$f$は積分可能である。

証明

$f$が単調増加の場合を考えます。したがって、分割$D$をとったときの各区間$[x_{i-1},x_i]$において、$f$は $x=x_{i-1}$で最小値$f(x_{i-1})$、$x=x_i$で最大値$f(x_i)$をとります。

すなわち、

$$f_i = f(x_{i-1}), \quad F_i = f(x_i)$$

となります。そして１つ右隣の部分区間$[x_i, x_{i+1}]$を考えれば$f_{i+1} = f(x_i)$ですから、上式と併せて$f_{i+1} = F_i \; (i = 1, \cdots , n)$が成り立ちます。さらに、分割$D$を部分区間の長さ$\delta$が全て等しく十分小さくなるようにとれば、

$$\begin{align} &\quad \sum_{i=1}^{n}(F_i – f_i)\delta_i \\ &= (F_1 – f_1)\delta + (F_2 – f_2)\delta + (F_3 – f_3)\delta + \cdots + (F_{n-1} – f_{n-1})\delta + (F_n – f_n)\delta \\ &= (F_1 – f_1)\delta + (F_2 – F_1)\delta + (F_3 – F_2)\delta + \cdots + (F_{n-1} – F_{n-2})\delta + (F_n – F_{n-1})\delta \\ &= (F_n – f_1)\delta \\ &= (f(x_n) \: – f(x_0))\delta \end{align}$$

となりますから、上ダルブー和とと下ダルブー和の差を任意に小さくすることができます。

したがって、$f$は積分可能です。

（証明終）