収束する２つ数列の各項の和、差、積、商をとることで得られる数列もまた、それぞれ収束します。 (1)の証明 まずは三角不等式から以下の評価を得ます。 $$\begin{align} \mid ( s_n + v_n ) \…

無限級数 数列\(\{a_n\}\)に対して、 $$a_0 + a_1 + a_2 + \cdots \tag{1}$$ のように各項を無限に足したものを、無限級数と呼びます。 また、初項から有限個分までの項を足した場合…

部分列の定義 もとの数列から一部の項だけを取ってきた数列のことを、部分列といいます。部分列をつくるときには、取ってきた項の順番を入れ替えてはいけません。 ここで、増加写像の「増加」の意味は、\(n < m\)のとき…

今回は、上に有界な単調増加列が実数の極限値に収束することを証明します。そのために必要な定義と定理も紹介します。 最小上界（上限）と最大下界（下限）の定義 上に有界な単調増加列が実数の極限値に収束することを証明するために、…

コーシー列の定義 数列の収束は以下のように定義されるものでした。 したがって、ある数列\(\{s_n\}\)が収束することを示そうと思ったら、その極限\(s\)をあらかじめ知っておく必要があります。 （参考：【１変数】数…

今回は、１変数の実数について数列の定義からはじめて、数列の収束と発散についても定義します。 最後に、「収束する数列は有界である」定理を証明します。 数列の定義 まずは数列を定義します。 すべての自然数\(n\)に対して数…