【１変数】関数における連続を定義

1 連続な関数の定義
2 関数が連続であることと同値な条件
3 連続な関数どうしの和・差・積・商も連続である

連続な関数の定義

まずは関数における連続を定義します。

定義（関数と連続）

$A$は$\mathbb{R}$の部分集合で、$x_0 \in A$であるとする。

関数$f : A \to \mathbb{R}$について、

$$\forall \varepsilon \gt 0 \;\;\; \exists \delta \gt 0 \;\;\; \forall x \in A : \; \mid x \; – \; x_0 \mid \lt \delta \;\;\;\;\;\; \mid f(x) \; – \; f(x_0) \mid \lt \varepsilon$$

が成り立つとき、関数$f(x)$は$x_0$で連続であるという。

また、すべての$x_0 \in A$で連続であるとき、関数$f(x)$は連続であるという。

要は、すべての$\varepsilon \gt 0$に対してある$\delta \gt 0$が存在して、$\mid x-x_0 \mid \lt \delta$を満たすすべての$x$において$\mid f(x)-f(x_0) \mid \lt \varepsilon$が成り立つとき、関数$f(x)$は$x_0$で連続であるといいます。

関数が連続であることと同値な条件

次に、関数が連続であることと同値な条件を与える定理の紹介と証明をします。

定理（関数の連続）

関数$f : A \to \mathbb{R}$がある。

$x_0$に収束し、$x_n \in A$を満たすあらゆる数列$\{x_n\}_{n \ge 1}$に対して、

$$\lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(x_0) \tag{1}$$

であるとき、かつそのときに限って、関数$f(x)$は$x_0 \in A$で連続である。

証明

関数$f(x)$は$x_0 \in A$で連続であるとします。そこで、任意の$\varepsilon \gt 0$に対して連続の定義を満たす$\delta \gt 0$を選びます。

すると、ある数$X \in A$が$\mid X – x_0 \mid < \delta$を満たすならば、$\mid f(X) – f(x_0) \mid < \varepsilon$が成り立つといえます。

仮定より、数列$\{x_n\}_{n \ge 1}$は$n \to \infty$のとき$x_n \to x_0$です。この数列の収束条件から、ある自然数$N$が存在して、$n \ge N$に対して$\mid x_n – x_0 \mid < \delta$が成り立ちます。

よって、$n \ge N$に対しては$\mid f(x_n) \; – \; f(x_0) \mid \, < \varepsilon$であるといえます。これはすべての$\varepsilon > 0$に対して成り立っているわけですから、$n \to \infty$のとき$f(x_n) \to f(x_0)$となります。したがって、(1)式は成立します。

逆に(1)式が成り立つとき、$f(x)$が$x_0$で連続であることは背理法により示されます。

$f(x)$が$x_0$で不連続だと仮定すると、

$$\exists \varepsilon \gt 0 \;\;\; \forall \delta \gt 0 \;\;\; \exists x \in A : \; \mid x – x_0 \mid < \delta \;\;\;\;\;\; \mid f(x) - f(x_0) \mid \ge \varepsilon \tag{2}$$

を得ます。そこで、$\delta = 1/n$のときに$\mid x – x_0 \mid < \delta$を満たす$x \in A$を$x_n$とします。

こうして得られた数列$\{x_n\}$の$x_n$は$x_0$に収束することから(1)の仮定も満たし、$\forall \varepsilon \gt 0 $で十分大きな自然数$n$に対して$\mid f(x) – f(x_0) \mid \lt \varepsilon$が成り立ちます。

ところが、(2)式を満たす$\varepsilon$が存在することと矛盾してしまうことから、(2)式の仮定は誤りです。

よって、$f(x)$は$x_0$で連続です。

（証明終）

連続な関数どうしの和・差・積・商も連続である

次に、$x_0$で連続な関数どうしで和・差・積・商をとってできた関数の連続性についての定理を与えます。

定理（連続と四則計算）

$f:A \to \mathbb{R}$と$g: \to \mathbb{R}$は$x_0 \in A$連続で、$\lambda$は実数であるとする。このとき、以下の関数、

$$f(x) + g(x)$$

$$\lambda f(x)$$

$$f(x) \cdot g(x)$$

$$\frac{f(x)}{g(x)} 　(ただし、g(x_0) \ne 0)$$

もまた、$x_0$で連続である。

証明

関数$f(x)$と$g(x)$はともに$x_0$で連続であるとの仮定から、先の項で紹介した定理が使えます。

そこで、$x_0$に収束する$A$の元の点列$\{x_n\}$をとります。$f(x)$と$g(x)$は連続ですから、$n \to \infty$のとき$f(x_n) \to f(x_0)$と$g(x_n) \to g(x_0)$にそれぞれ収束します。

このように、$f(x_n)$と$g(x_n)$が収束することから、$f(x_n)+g(x_n) \to f(x_0)+f(x_0)$となります。これは関数が連続であることの定義を満たしているため、$f(x)+g(x)$は$x_0$で連続であることがいえます。

同様にして、$x_0$に収束する$A$の元の点列$\{x_n\}$をとることで数列$\{f(x_n)\}$と$\{g(x_n)\}$を考え、それぞれ$f(x_0)$と$g(x_0)$に収束する流れから、$\lambda f(x)$と$f(x) \cdot g(x)$、$f(x)/g(x)$も$x_0$で連続であることがいえます。

収束列どうしの和、差、積、商の収束自体に興味のある方は、以下の記事を参考にしてみてください。