前回の記事では、リーマン積分可能な関数を定義しました。今回は、関数の定数倍や絶対値、積分どうしの和・積・商が積分可能であるかどうかについて解説します。
今回もリーマンの意味での積分を扱うにあたって、引き続き以下の関数に限定して考えます。
すなわち、閉区間\([a,b]=\{x \vert s \le x \le b\}\)上で有界な関数\(f \: : \: [a,b] \to \mathbb{R}\)は、
$$\exists M \ge 0 \forall x \in [a,b] \mid f(x) \mid \le M $$
を満たしているとします。
定理
２つの関数\(f\)と\(g\)は\([a,b]\)上で積分可能な関数で、\(\lambda\)は実数であるとする。このとき、以下の関数、
$$f+g , \quad \lambda \cdot f , \quad f \cdot g , \quad \vert f \vert , \quad f/g \; (g(x) \ne 0)$$
も積分可能である。
証明
\(a = x_0 \lt x_1 \lt x_2 \lt \cdots \lt x_n =b\)を満たすように分割の集合、
$$D = \{x_0 , x_1 , x_2 , \cdots , x_n\}$$
を置きます。そして、部分区間の長さを\(\delta_i = x_i – x_{i-1}\)で定義します(\(1 \le i \le n\))。また、\(f_i\)と\(F_i\)を、
$$f_i = \inf_{x_{i-1} \le x \le x_i}f(x), \quad F_i = \sup_{x_{i-1} \le x \le x_i}f(x) \tag{1}$$
のように定義します。
その定義から、すべての\(\varepsilon \gt 0\)に対して\(\xi , \eta \in [x_{i-1},x_i]\)が存在して、\(f(\xi ) \gt F_i \: – \: \varepsilon \)と\(f(\eta ) \lt f_i + \varepsilon\)が成り立ちます。
したがって、２つの不等式から\(f(\xi ) \: – \: f(\eta ) \gt F_i \: – \: f_i \: – \: 2\varepsilon\)を得ます。
これは\(F_i \: – \: f_i\)が\(\mid f(x) \: – \: f(y) \mid\)の上限であることを意味しています。すなわち、
$$F_i \: – f_i = \sup_{s,y \in [x_{i-1},x_i]}\mid f(x) \: – f(y) \; \mid \tag{2}$$
が成立します。
積分可能な関数の和も積分可能である
それではまず、\(f + g\)の証明から始めます。
関数\(h(x) = f(x) + g(x)\)とします。さらに、(1)式と同様に、\(f,g\)の上限を\(G_i,H_i\)、下限を\(f_i,h_i\)と置きます。すると、\(x,y \in [x_{i-1},x_i]\)に対して三角不等式と(2)式を利用すれば、以下の評価が得られます。
$$\begin{align} \mid h(x) \: – h(y) \mid &= \mid f(x) + g(x) \: – f(y) \: – g(y) \mid \\ &\le \mid f(x) \: – f(y) \mid + \mid g(x) \: – g(y) \mid \\ &\le (F_i \: – f_i) + (G_i \: – g_i)\tag{3} \end{align}$$
また、(2)式より\(\mid h(x) \: – h(y) \mid \le H_i \: – h_i\)ですから、これと(3)式を組み合わせて、
$$H_i \: – h_i \le (F_i \: – f_i) + (G_i \: – g_i) \tag{4}$$
を得ます。(4)式を(\(1 \le i \le n\))の範囲で和をとって、
$$\sum_{i=1}^{n}(H_i – h_i)\delta_i \le \sum_{i=1}^{n}(F_i – f_i)\delta_i + \sum_{i=1}^{n}(G_i – g_i)\delta_i \tag{5}$$
\(f\)と\(g\)はともに積分可能ですから、上ダルブー和と下ダルブー和の差を任意に小さくすることが出来ます。したがって、与えられた\(\varepsilon \gt 0\)に対して、
$$\sum_{i=1}^{n}(F_i – f_i)\delta_i \lt \varepsilon , \quad \sum_{i=1}^{n}(G_i – g_i)\delta_i \lt \varepsilon \tag{6}$$
が成り立ちます。(5)式と(6)式を組み合わせれば、
$$\sum_{i=1}^{n}(H_i – h_i)\delta_i \lt 2 \varepsilon$$
を得ます。これは\(h\)の上ダルブー和と下ダルブー和の差も任意に小さく出来ることを意味しているため、\(f + g\)も積分可能です。
積分可能な関数の定数倍も積分可能である
次に、\(\lambda \cdot f\)の証明です。\(h(x) = \lambda \cdot f(x)\)とすれば、流れは\(f + g\)の証明と同じで、(3)式の評価が以下のように変更されます。
$$\begin{align} \mid h(x) – h(y) \mid &= \vert \lambda \vert \cdot \mid f(x) – f(y) \mid \\ &\; \vdots \\ &\le \vert \lambda \vert \cdot \mid f(x) – f(y) \mid \\ &\le \vert \lambda \vert (F_i – f_i) \end{align}$$
したがって、(4)式に相当する式、
$$H_i – h_i \le \vert \lambda \vert \cdot (F_i -f_i)$$
が得られます。これによって\(\lambda \cdot f\)も積分可能であることが分かります。
積分可能な関数の積も積分可能である
そして、\(h(x) =f(x) \cdot g(x)\)の積分可能性についてです。これまでと同じように\(\mid h(x) – h(y) \mid\)を評価すれば、
$$\begin{align} \mid h(x) – h(y) \mid &= \mid f(x) \cdot g(x) – f(x) \cdot g(y) + f(x) \cdot g(y) – f(x) \cdot g(y)\mid \\ &\; \vdots \\ &\le \mid f(x) \mid \cdot \mid g(x) – g(y) \mid + \mid g(y) \mid \cdot \mid f(x) – f(y) \mid \\ &\le M \cdot \mid g(x) – g(y) \mid + N \cdot \mid f(x) – f(y) \\ &\le M \cdot (G_i – g_i) + N \cdot (F_i – f_i) \end{align}$$
が得られます。このとき、\(f\)と\(g\)は有界なので\(\vert f(x) \vert \le M\)と\(\vert g(x) \vert \le N\)が成り立っています。
このことから、
$$H_i – h_i \le M \cdot (G_i – g_i) + N \cdot (F_i – f_i)$$
が得られて、最終的に\(f \cdot g\)も積分可能であることが示されるのです。
積分可能な関数の商も積分可能である
最後に\(f/g\)が積分可能であることを証明しましょう。
\(1/g(x)\)が積分可能であることを示せれば、あとは\(f/g\)を割り算でなく掛け算\(f\cdot 1/g\)とみなしてあげれば済みます。
\(h(x) = 1/g(x)\)と置いてあげれば、
$$\begin{align} \mid h(x) – h(y) \mid &= \frac{\mid g(y) – g(x) \mid}{\mid g(x) \cdot g(y) \mid} \\ &\le \frac{\mid g(y) – g(x) \mid}{N^2} \\ &\le \frac{1}{N^2} \cdot (G_i -g_i) \end{align}$$
となって積分可能であることが証明されます。
積分可能な関数の絶対値も積分可能である
\(\vert f \vert\)の積分可能性についても同じく\(h(x) = \vert f(x) \vert \)とおけば、
$$\begin{align} \mid h(x) – h(y) \mid &= \mid \vert f(x) \vert – \vert f(y) \vert \mid \\ &\le \mid f(x) – f(y) \mid \\ &\le (F_i – f_i) \end{align}$$
が得られるため、これまで通りの方法で積分可能であることが示されます。
（証明終）
