無限級数
数列\(\{a_n\}\)に対して、
$$a_0 + a_1 + a_2 + \cdots \tag{1}$$
のように各項を無限に足したものを、無限級数と呼びます。
また、初項から順に各項を有限個だけ足した場合は部分和と呼び、
$$s_0=a_0, s_1=a_0+a_1, \cdots , s_n = \sum_{i=0}^n a_i \tag{2}$$
のように部分和の数列を考えることもできます。
無限級数の収束を定義しましょう。
定義（無限級数の収束）
数列\(\{s_n\}\)が収束するとき、無限級数(1)は収束するといって、
$$ \lim_{n \to \infty}s_n = \sum_{i=0}^\infty a_i$$
または
$$ \lim_{n \to \infty}s_n = \sum_{i \ge 0} a_i$$
で表す。
無限級数の収束条件
先の項で無限級数の収束を定義しましたが、コーシー列と収束列に関する定理をあわせることで、次の補題が得られます。
補題
無限級数(1)が実数の極限に収束することは、
$$\forall \varepsilon \gt 0 \;\;\; \exists N \ge 0 \;\;\; \forall n \ge N \;\;\; \forall k \ge 1 \;\;\; \mid s_{n+k} – s_n \mid \lt \varepsilon$$
すなわち、
$$\forall \varepsilon \gt 0 \;\;\; \exists N \ge 0 \;\;\; \forall n \ge N \;\;\; \forall k \ge 1 \;\;\; \mid a_{n+1} + a_{n+2} + \cdots + a_{n+k} \mid \lt \varepsilon$$
と同値である。
例えば、上の補題で\(k=1\)のとき、
$$\forall \varepsilon \gt 0 \;\;\; \exists N \ge 0 \;\;\; \forall n \ge N \;\;\; \mid a_{n+1} \mid \lt \varepsilon$$
となりますから、数列\(\{a_n\}\)の一般項が\(0\)に収束することを意味しています。\(a_n\)が\(0\)に収束したとしても、補題における\(k=1\)の場合を示したに過ぎないので、これだけで無限級数が収束するとはいえません。
\(a_n\)が\(0\)に収束することは、無限級数が収束するための必要条件なのです。
ライプニッツの収束判定法
項の符号が交互に入れ替わる無限級数、
$$a_0 \; – \; a_1 + a_2 \; – \; a_3 + a_4 \; – \; \cdots \; = \sum_{i \ge 0} {(-1)}^ia_i \tag{3}$$
を交代級数または交項級数と呼びます。
交代級数の収束判定については、ライプニッツによる定理があります。
定理（ライプニッツによる）
交代級数(3)のすべての項について、
$$a_i \gt 0, \;\;\; a_{i+1} \le a_i, \;\;\; \lim_{i \to \infty}a_i = 0$$
のとき、交代級数(3)はある実数\(s\)に収束し、交代級数(3)の部分和\(s_n\)とのあいだに以下の評価を得る。
$$\mid s \; – \; s_n \mid \le a_{n+1}$$
証明
\(s_n\)を交代級数の初項から第n項までの部分和とします。仮定より\(a_{2k} \; – \; a_{2k+1} \ge 0\)ですから、
$$s_{2k+1} = s_{2k-1} + a_{2k} \; – \; a_{2k+1} \ge s_{2k-1} $$
を得ます。同様にして、
$$s_{2k+2} = s_{2k} \; – \; a_{2k+1} + a_{2k+1} \le s_{2k} $$
が得られます。上2つの不等式と\(s_{2k+1} \le s_{2k+2}\)より、
$$s_{2k-1} \le s_{2k+1} \le s_{2k+2} \le s_{2k}$$
の不等式が成り立ちます。これを繰り返し使えば、\(\forall k \ge 1\)に対して\(s_{n+k}\)が\(s_n\)と\(s_{n+1}\)のあいだにあることが分かりますから、
$$\begin{align}a_{n+1} &= \mid s_{n+1} \; – \; s_n \mid \\ &= \mid s_{n+1} \; – \; s_{n+k} + s_{n+k} \; – \; s_n \mid \\ &= \mid s_{n+1} \; – \; s_{n+k} \mid + \mid s_{n+k} \; – \; s_n \mid \\ &\ge \mid s_{n+k} \; – \; s_n \mid \end{align} \tag{4}$$
の不等式を得ます。仮定より\(a_{n+1}\)は\(0\)に収束しますから、上の不等式より\(\{s_n\}\)がコーシー列であると分かって、\(\{s_n\}\)はある実数\(s\)に収束します。
また、\(n\)の値を固定して数列\(\{b_k\} = \{ \mid s_{n+k} – s_n \mid \}\)を考えると、\(\{s_{n+k}\}\)は\(s\)に収束するので\(\{b_k\}\)は\( \mid s – s_n \mid \)に収束します。すると、(4)式より\(b_k \le a_{n+1}\)ですから、\(\{b_k\}\)の極限である\( \mid s – s_n \mid \)についても、
$$\mid s \; – \; s_n \mid \le a_{n+1}$$
が成り立つことが分かります。
（証明終）
