フックの法則の運動方程式と調和振動子の全エネルギー

二原子分子における分子内振動は、調和振動子と呼ばれるモデルを使って近似することができます。調和振動子とは、質点がフックの法則に従って運動するときの系のことを指します。

今回は、１つの質点がばねにつながれた場合の調和振動子モデルについて、運動方程式(微分方程式)や全エネルギーを求めていきます。

1 調和振動子とフックの法則
2 調和振動子の全エネルギー

調和振動子とフックの法則

まず、質量 $m$ の質点がばねを介して水平につながれている状態を考えます。本来、物体は大きさをもっていますが、質点は質量中心に大きさが集中している点だと見なされます。質点に対する摩擦や重力などの影響は無視します。を壁とばねがつながる地点を原点とし、ばねの自然長、すなわち伸びても縮んでもいないときの長さを $l_0$ とします。

そこで、何らかの原因でばねが伸び縮みして長さが $l$ に変化すると、ばねは自然長の長さに戻ろうとします。このときのばねの力のことを復元力といいます。この復元力 $f$ の大きさは、ばねの自然長からの変位の大きさに比例するため、比例定数を $k$ とおくと、

$f=-k(l-l_0)=-kx \tag{1}$

で表すことができます。これをフックの法則といいます。このとき、ばねの変位が正のときは伸びた状態であるため、復元力は縮む方向、すなわち負の値をとります。ばねの変位が負のときは逆に復元力は正の値をとります。このことから、フックの法則にはマイナスの符号が掛けられています。

フックの法則をニュートンの運動方程式 $ma=f$ にあてはめると、

$ma=-k(l-l_0)=-kx \tag{2}$

さらに、加速度 $a$ は変位 $l$ の２階微分ですから、

$m\frac{d^2l}{dt^2}=-k(l-l_0)=-kx \tag{3}$

さらに、 $l$ を消去して $x$ で表ます。

$x=l-l_0 \tag{4}$

移項して、

$l=x+l_0 \tag{5}$

$l_0$ が定数であることに注意して両辺をtについて２階微分すれば、

$\frac{d^2l}{dt^2}=\frac{d^2x}{dt^2} \tag{6}$

これを(3)式に代入して右辺が $0$ になるよう移項すれば、

$m\frac{d^2x}{dt^2}+kx=0 \tag{7}$

この方程式は、 $x$ と $d^2x/dt^2$ の１次方程式であることと、各項の係数が定数であることから、定係数の線形微分方程式だと分かります。この種の方程式は解くことができて、(7)式の場合の解は、

$x(t)=Asin{\omega t}+Bcos{\omega t} \tag{8}$

になります。このとき、 $A$ と $B$ は定数であり、

$\omega =\sqrt{\frac{k}{m}} \tag{9}$

です。

調和振動子の全エネルギー

次に、前項で考えた調和振動子の全エネルギーを計算します。簡単のために、(8)式で $A=0$ の場合を考えます。

$x(t)=B\cos \omega t \tag{10}$

これは、振幅が $B$ の余弦波です。

全エネルギー $E$ 、は位置エネルギー $V$ と運動エネルギー $K$ の和で与えられるため、まずは位置エネルギーを求めます。

力 $f$ と位置エネルギー $V$ の関係が、

$f(x)=-\frac{dV}{dx} \tag{11}$

で与えられるため、両辺に $dx$ を掛けて積分すれば、

$V(x)=-\int f(x) dx +C \tag{12}$

このとき、 $C$ は積分定数です。

(12)式にフックの法則(1)式を代入して $[0,x]$ で積分すれば、

$V(x)=\frac{k}{2}x^2 \tag{13}$

定積分をしたので、積分定数 $C$ は消えています。

さらに、(10)式を代入して、

$V=\frac{1}{2}kB^2\cos^{\;2} \omega t \tag{14}$

また、運動エネルギーは、

$K=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}m(\frac{dx}{dt})^2 \tag{15}$

であるため、(15)式に(10)式を代入すれば、

$K=\frac{1}{2}m\omega ^2B^2\sin^{\;2} \omega t \tag{16}$

となって、さらに(9)式を代入すれば、

$K=\frac{1}{2}kB^2\sin^{\;2} \omega t \tag{17}$

以上より、全エネルギー $E$ は、(14)式と(17)式を足して、

$\begin{align}E&=V+K \\ &=\frac{1}{2}kB^2\cos^{\;2} \omega t+\frac{1}{2}kB^2\sin^{\;2} \omega t \\ &=\frac{1}{2}kB^2(\cos^{\;2} \omega t+\sin^{\;2} \omega t) \\ &=\frac{1}{2}kB^2(=一定) \tag{18} \end{align}$

よって、全エネルギー $E$ には保存則が成り立ちます。ただし、これは復元力以外に力が働かない仮定のもと成り立ってることに注意してください。

また、各エネルギーの時間変化をグラフに表した図を以下に示します。