一次元の箱の中の粒子|エネルギーと波動関数の規格化

\(x\)軸上の\(0 \leq x \leq a\)の範囲で自由粒子が運動している場合を考えてみましょう。この問題は一次元の箱の中の粒子と呼ばれていますが、今回はこの自由粒子についてエネルギーを求めたり波動関数の規格化を実行していきたいと思います。

一次元の箱の中の粒子とシュレディンガー方程式

先にも述べたように一次元の箱の中の粒子とは、\(x\)軸上の\(0 \leq x \leq a\)の範囲で運動している自由粒子のことを想定します。ここで、自由粒子とはポテンシャルエネルギー\(V(x)=0\)を満たす粒子のことを指します。x軸を離れてy軸やz軸方向に運動することはありません。

さらに、時間に依存しないシュレディンガー方程式を以下に示します。

$$\frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}[E-V(x)]\psi(x)=0\tag{1}$$

この式がどのようにして得られるかは以下の記事を参考にしてください。(参考:時間に依存しないシュレディンガー方程式を導出しよう)

一次元の箱の中の粒子はポテンシャルエネルギー\(V(x)\)が\(0\)なので(1)式は、

$$\frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{2mE}{\hbar^2}\psi(x)=0\tag{2}$$

になります。ここで、粒子の波動関数\(\psi(x)\)が何を表しているのかを考えてみましょう。そもそもシュレディンガー方程式は粒子が古典的波動方程式とド・ブローイ波長に従うことを前提としています。両端が固定された弦が振動しているときの変位\(u(x,t)\)は以下の波動方程式を満たします。

$$\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2}\tag{3}$$

この方程式を頑張って解いた結果を簡単に表すと以下の式になります。

$$u(x,t)=\psi(x)\cos{\omega t}\tag{4}$$

\(\psi(x)\)が時間変化に対する振幅を表しているかのように読み取れます。ところが、一次元の箱の中の粒子はx軸に沿って直線的に運動するため振幅も何もありません。

そこでエルヴィン・シュレディンガーは当時、\(e\psi^*(x)\psi(x)\)を電化密度、\(e\psi^*(x)\psi(x)dx\)を\(x\)と\(x+dx\)の間における電荷量であると解釈することで\(\psi(x)\)を理解しようとしたのです。このとき、\(e\)は電気素量[C]で陽電子1個の電荷に相当し、\(\psi^*(x)\)は\(\psi(x)\)の複素共役を意味するため\(\psi^*(x)\psi(x)\)は\(\psi(x)\)の絶対値の2乗です。

このようにシュレディンガーが\(\psi(x)\)を解釈してから数年後、マックス・ボルンというドイツ人物理学者は別の解釈を提唱しました。それは、\(\psi^*(x)\psi(x)dx\)を\(x\)と\(x+dx\)の間における粒子の存在確率と解釈することでした。すなわち\(\psi^*(x)\psi(x)\)が連続型確率分布における確率密度になるということです。シュレディンガーは当時この確率論的な解釈を受け入れることができませんでしたが、今となってはこの考えが一般的に受け入れられています。

話を変えて一次元の箱の中の粒子についての境界条件を求めましょう。粒子は\(x\)軸上の\(0 \leq x \leq a\)の領域に制限されているため\(x<0\)または\(x>a\)の領域に粒子が存在する確率はゼロ、すなわち\(x<0\)または\(x>a\)において\(\psi(x)=0\)です。さらに\(\psi(x)\)が連続関数であることも合わせると境界条件は、

$$\psi(0)=\psi(a)=0\tag{5}$$

になります。

箱の中の粒子のエネルギー

さて、『古典的な波動方程式の解き方』の記事でも解説しましたが、一次元の箱の中の粒子に関するシュレディンガー方程式(2)式の一般解\(\psi(x)\)は古典的波動方程式の一般解に一致しています。古典的波動方程式はどのように解くかというと、まず2変数関数である\(u(x,t)\)を2つの1変数関数\(X(x)\)と\(T(t)\)の積であると仮定します。

$$u(x,t)=X(x)T(t) \tag{6}$$

これを古典的波動方程式(3)式に代入して分離定数\(K\)をおくと、

$$\begin{align} \frac{d^2 X(x)}{d x^2}-KX(x)&=0 \tag{7} \\ \frac{d^2 T(t)}{d t^2}-Kv^2T(t) &=0 \end{align} \tag{8}$$

が得られます。このとき分離定数\(K\)は負の値をとらないと一般解が得られないため、\(K=-\beta^2\)とおいて(7)式に代入すれば、

$$\frac{d^2 X(x)}{d x^2}+\beta^2X(x)=0 \tag{9}$$

これを解けば、

$$\psi(x)=X(x)=A\cos{\beta x}+B\sin{\beta x}\tag{10}$$

が得られます。このとき、\(A\)と\(B\)は定数です。詳しくは『古典的な波動方程式の解き方』を参照してください。ここで、(2)式と(9)式を見比べてみると

$$\beta^2=\frac{2mE}{\hbar^2}\tag{11}$$

であることが分かるので一次元の箱の中の粒子の場合、\(\psi(x)\)の一般解は、

$$\psi(x)=A\cos{\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} x}+B\sin{\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} x}\tag{12}$$

になります。このままだと式が重いので、

$$k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}\tag{13}$$

とおくことにしましょう。したがって(12)式は、

$$\psi(x)=A\cos{kx}+B\sin{kx}\tag{14}$$

に書き換えられます。さて、(5)式の境界条件\(\psi(0)=0\)を(14)式に代入すれば\(A=0\)を得ることができます。さらに\(\psi(a)=0\)でもあることから、

$$\psi(a)=B\sin{ka}=0\tag{15}$$

これを解くと\(B=0\)または\(\sin{ka}=0\)になりますが、前者を採用すると\(\psi(x)=0\)となって無意味な解を得ることになるので後者の方程式を解けば、

$$ka=n\pi\tag{16}$$

になります。このとき\(n\)は自然数です。\(\sin{}\)の中身が\(\pi\)の整数倍になれば値はゼロになりますからね。(13)式と(16)式を利用して\(k\)を消去すれば、

$$\begin{align}E_n&=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}\\&=\frac{n^2h^2}{8ma^2}\end{align} \tag{17}$$

このとき、\(\hbar=h/2\pi\)であることを利用しました(定義)。ということで、一次元の箱の中の粒子がとり得るエネルギーの値を計算してみたら、離散的(とびとび)な値しかとらないことが分かりました。(17)のエネルギーの式に変数として表れている自然数\(n\)を量子数といって、粒子のエネルギーが量子化されていると表現されます。量子力学が”量子”力学といわれる所以が垣間見えたのではないでしょうか。

さらに、(16)式を使って量子化された\(\psi(x)\)も求めておきましょう。先ほど\(A=0\)であることが分かったのでこれもあわせて(14)式に代入すれば、

$$\psi_n(x)=B\sin{\frac{n\pi x}{a}}\tag{18}$$

を得ることができます。まだ\(B\)が求まっていない!というツッコミがきそうですが、これは規格化という作業によって求めることができます。

波動関数の規格化

次に、波動関数\(\psi(x)\)の定数\(B\)を規格化により求めます。さきほど解説したマックス・ボルンの解釈によれば、\(\psi^*(x)\psi(x)dx\)が\(x\)と\(x+dx\)の間における粒子の存在確率になることなので、これを\([0,a]\)の範囲で積分すると、

$$\int_0^a \psi^*(x)\psi(x)dx=1\tag{19}$$

になるはずです。なぜなら一次元の箱の中の粒子は\(x\)軸上の\(0 \leq x \leq a\)の範囲にいるため、その存在確率を\(x=0\)から\(x=a\)のときまで足していけば\(1\)になるからです。

(19)式に前項で求めた波動関数の式(18)を代入すれば、

$$\int_0^a  BB^*\sin^2{\frac{n\pi x}{a}} dx=1\tag{20}$$

となって、\( BB^*=|B|^2\)でしかも定数だから、

$$|B|^2\int_0^a \sin^2{\frac{n\pi x}{a}} dx=1\tag{21}$$

に書き換えられます。さらに、加法定理から得られる半角の公式、

$$\sin^2\alpha=\frac{1-\cos 2\alpha}{22}$$

を使って積分計算すれば、

$$\begin{align}|B|^2\frac{a}{2}&=1\\B&=\sqrt{\frac{2}{a}}\end{align}$$

となって、\(B\)の値がえられました。これを(18)式に代入して波動関数\(\psi(x)\)を完成させて終わりとしましょう。

$$\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin{\frac{n\pi x}{a}}\tag{23}$$

これが\(x\)軸上の\(0 \leq x \leq a\)の範囲に閉じ込められている自由粒子、すなわち一次元の箱の中の粒子が満たす波動関数なのです。このように、(19)式を満たすように定数\(B\)の値を決定する流れを規格化といい、得られた\(B\)の値を規格化定数とよびます。

参考文献

D.A.McQuarrie J.D.Simon(1999), 『物理学(上)-分子論的アプローチ-』, 東京化学同人, pp.86-93