前回の記事ではリーマン積分可能な関数を定義しました。今回は関数の定数倍や絶対値、積分どうしの和・積・商が積分可能であるかどうかについて解説します。 今回もリーマンの意味での積分を扱うにあたって、引き続き以下の関数に限定し…

前回の記事ではアルコールの工業的製造法やヒドリド反応剤による実験的製造法を解説しました。 今回はその逆で、アルコールの酸化反応によるケトンやカルボン酸といったカルボニル化合物の合成法を紹介します。 アルコールの酸化にはク…

今回はリーマン積分を定義し、リーマン積分が可能であるための必要十分条件に関する定理を紹介します。 この記事では、以下のように有界な関数\(f\)を仮定します。 閉区間\([a,b]=\{x \vert s \le x \…

第一級アルコールを酸化させるとアルデヒドに、第二級アルコールを酸化させるとケトンが生成します。逆に、アルデヒドやケトンを還元させると、それぞれ第一級アルコールと第二級アルコールを生成します。 これらの知識は高校の有機化学…

関数の連続性のほかに、一様連続性という概念があります。 これを関数の連続性と比較してみまよう。関数\(f(x)\)が\(x_0\)で連続であるとは、 $$\forall \varepsilon > 0 　\exis…

  アルコールの工業的製法 まず、メタノールはCOとH2の加圧混合物から銅、酸化亜鉛、そして酸化クロムからなる触媒を利用して合成されています。 また、このとき触媒をロジウムあるいはルテニウムに変更すると、1,2…

関数列と各点収束 関数列\(f_a,f_2,f_3, \cdots \: : \: A \to \mathbb{R}\)について考えましょう。このとき、\(A\)は実数体\(\mathbb{R}\)の部分集合です。 具体…

関数の極限を定義する前に、集合における集積点を定義します。 \(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)について、 $$\forall \delta > 0 　\exists x \in A 　0 < \…

最大値の定理（最大値・最小値の定理）は平均値の定理や一様連続に関する定理を証明するのに利用されます。 （証明） まずは\(f(x)\)が\([a,b]\)上で有界であることを示します。証明法は背理法によります。 \(f(…

中間値の定理を以下に示します。 証明 まずは\(c=0\)のときを示します。 \(X=\{x \in [a,b] \, ; \: f(x)<0\}\)は上に有界な空でない実数の集合であるため、上限\(\sup X\…