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解析学

【1変数】関数の極限

2019.09.09 owner

関数の極限を定義する前に、集合における集積点を定義します。 \(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)について、 $$\forall \delta > 0  \exists x \in A  0 < \…

解析学

【1変数】最大値の定理とその証明

2019.09.08 owner

最大値の定理(最大値・最小値の定理)は平均値の定理や一様連続に関する定理を証明するのに利用されます。 (証明) まずは\(f(x)\)が\([a,b]\)上で有界であることを示します。証明法は背理法によります。 \(f(…

解析学

【1変数】中間値の定理とその証明

2019.09.08 owner

中間値の定理を以下に示します。 (証明) まずは\(c=0\)のときを示します。 \(X=\{x \in [a,b] \, ; \: f(x)<0\}\)は上に有界な空でない実数の集合であるため、上限\(\sup …

解析学

【1変数】関数における連続を定義

2019.09.08 owner

まずは関数における連続を定義します。   次に、上で示した連続の定義と同値な条件についての定理を与えます。 (証明) 関数\(f(x)\)は\(x_0 \in A\)で連続であるとします。そこで、任意の\(\v…

解析学

【1変数】2つの収束列のあいだで和、積、商をとった数列も収束する

2019.09.03 owner

2つの収束する数列の各項どうしについて和、差、積、商をとった結果できる数列もまた、収束します。 (1)の証明 まずは三角不等式から以下の評価を得ます。 $$\begin{align} \mid ( s_n + v_n )…

解析学

【1変数】無限級数の収束条件

2019.09.01 owner

無限級数 数列\(\{a_n\}\)に対して、 $$a_0 + a_1 + a_2 + \cdots \tag{1}$$ のように、各項を無限に足したものを無限級数と呼びます。 また、初項から有限個の項までを足した場合は…

解析学

【1変数】部分列と集積点の定義とボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理の証明

2019.07.13 owner

部分列の定義 もとの数列から一部の項を取ってきた数列を部分列と言います。部分列を作るときには、取ってきた項の順序を入れ替えてはいけません。 ここで、増加写像の「増加」の意味は、\(n < m\)のとき\(\sigm…

解析学

【1変数】上に有界な単調増加列は実数の極限値に収束する

2019.07.12 owner

今回は、上に有界な単調増加列が実数の極限値に収束することを証明します。そのために必要な定義と定理も紹介します。 最小上界(上限)と最大下界(下限)の定義 上に有界な単調増加列が実数の極限値に収束することを証明するために、…

解析学

【1変数】コーシー列の定義と収束の証明を実数の構成から解説

2019.07.08 owner

コーシー列の定義 数列の収束は以下のように定義されるものでした。 したがって、ある数列\(\{s_n\}\)が収束することを示そうと思ったら、その極限\(s\)をあらかじめ知っておく必要があります。 (参考:【1変数】数…

解析学

【1変数】数列の収束と発散の定義を解説

2019.07.06 owner

今回は1変数の実数について、数列の定義から始めて、数列の収束と発散についても定義します。 最後に、収束する数列は有界である定理を証明します。 数列の定義 まずは数列を定義します。 全ての自然数\(n\)に対して数\(s_…

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