関数の極限を定義する前に、集合における集積点を定義します。 \(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)について、 $$\forall \delta > 0 　\exists x \in A 　0 < \…

最大値の定理（最大値・最小値の定理）は平均値の定理や一様連続に関する定理を証明するのに利用されます。 （証明） まずは\(f(x)\)が\([a,b]\)上で有界であることを示します。証明法は背理法によります。 \(f(…

中間値の定理を以下に示します。 （証明） まずは\(c=0\)のときを示します。 \(X=\{x \in [a,b] \, ; \: f(x)<0\}\)は上に有界な空でない実数の集合であるため、上限\(\sup …

まずは関数における連続を定義します。   次に、上で示した連続の定義と同値な条件についての定理を与えます。 （証明） 関数\(f(x)\)は\(x_0 \in A\)で連続であるとします。そこで、任意の\(\v…

２つの収束する数列の各項どうしについて和、差、積、商をとった結果できる数列もまた、収束します。 (1)の証明 まずは三角不等式から以下の評価を得ます。 $$\begin{align} \mid ( s_n + v_n )…

無限級数 数列\(\{a_n\}\)に対して、 $$a_0 + a_1 + a_2 + \cdots \tag{1}$$ のように、各項を無限に足したものを無限級数と呼びます。 また、初項から有限個の項までを足した場合は…

部分列の定義 もとの数列から一部の項を取ってきた数列を部分列と言います。部分列を作るときには、取ってきた項の順序を入れ替えてはいけません。 ここで、増加写像の「増加」の意味は、\(n < m\)のとき\(\sigm…

今回は、上に有界な単調増加列が実数の極限値に収束することを証明します。そのために必要な定義と定理も紹介します。 最小上界（上限）と最大下界（下限）の定義 上に有界な単調増加列が実数の極限値に収束することを証明するために、…

コーシー列の定義 数列の収束は以下のように定義されるものでした。 したがって、ある数列\(\{s_n\}\)が収束することを示そうと思ったら、その極限\(s\)をあらかじめ知っておく必要があります。 （参考：【１変数】数…

今回は１変数の実数について、数列の定義から始めて、数列の収束と発散についても定義します。 最後に、収束する数列は有界である定理を証明します。 数列の定義 まずは数列を定義します。 全ての自然数\(n\)に対して数\(s_…