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一次元の箱の中の粒子｜エネルギーと波動関数の規格化


\(x\)軸上の\(0 \leq x \leq a\)の範囲で自由粒子が運動している場合を考えてみましょう。この問題は一次元の箱の中の粒子と呼ばれています。

今回は、この自由粒子についてエネルギーを求めたり波動関数の規格化を実行していきたいと思います。

一次元の箱の中の粒子とシュレディンガー方程式

先にも述べたように、一次元の箱の中の粒子とは、\(x\)軸上の\(0 \leq x \leq a\)で直線的な運動している自由粒子のことを想定します。ここで、自由粒子とはポテンシャルエネルギー\(V(x)=0\)を満たす粒子のことを指します。x軸を離れてy軸やz軸方向に運動することはありません。

さらに、時間に依存しないシュレディンガー方程式を以下に示します。

$$\frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}[E-V(x)]\psi(x)=0\tag{1}$$

この式の導出については、以下の記事を参考にしてください。

参考：時間に依存しないシュレディンガー方程式を導出しよう

一次元の箱の中の粒子はポテンシャルエネルギー\(V(x)=0\)なので、(1)式に代入すると、

$$\frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{2mE}{\hbar^2}\psi(x)=0\tag{2}$$

になります。

ここで、粒子の波動関数\(\psi(x)\)が何を表しているのか考えてみましょう。シュレディンガー方程式は、粒子が古典的波動方程式とド・ブロイ波長に従うことから得られる式です。両端が固定された弦が振動しているときの変位\(u(x,t)\)は以下の波動方程式を満たします。

$$\frac{\partial^{\, 2} u(x,t)}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^{\, 2} u(x,t)}{\partial t^2}\tag{3}$$

この方程式を解くと、

$$u(x,t)=\psi(x)\cos{\omega t}\tag{4}$$

となって、\(\psi(x)\)が時間変化に対する振幅であると見なせます。ところが、一次元の箱の中の粒子はx軸に沿って直線的に運動するため、振幅を考えることはありません。

方程式(3)から解(4)を得る過程は『古典的な波動方程式の解き方』および『時間に依存しないシュレディンガー方程式を導出しよう』を参考にしてください。

そこでエルヴィン・シュレディンガーは当時、\(e\psi^*(x)\psi(x)\)を電化密度、\(e\psi^*(x)\psi(x)dx\)を\(x\)と\(x+dx\)の間における電荷量であると解釈することで\(\psi(x)\)を理解しようとしました。このとき、\(e\)は電気素量[C]で陽電子1個あたりの電荷に相当し、\(\psi^*(x)\)は\(\psi(x)\)の複素共役を意味するため\(\psi^*(x)\psi(x) = {| \psi(x) |}^2 \)です。

このようなシュレディンガーが\(\psi(x)\)の解釈から数年後、マックス・ボルンというドイツ人物理学者が別の解釈をしました。それは、\(\psi^*(x)\psi(x)dx\)を\(x\)と\(x+dx\)の間における粒子の存在確率とすることでした。すなわち、\(\psi^*(x)\psi(x)\)が連続型確率分布における確率密度になるということです。シュレディンガーは当時、この確率論的な解釈を受け入れることができませんでしたが、今となってはこの解釈が一般的に受け入れられています。

続いて、境界条件を求めましょう。一次元の箱の中の粒子は、\(x\)軸上の\(0 \leq x \leq a\)の領域に制限されているため、\(x<0\)または\(x>a\)の領域に粒子が存在する確率はゼロ、すなわち\(x<0\)または\(x>a\)において\(\psi(x)=0\)です。さらに\(\psi(x)\)が連続関数であることも合わせると境界条件は、

$$\psi(0)=\psi(a)=0\tag{5}$$

になります。

箱の中の粒子のエネルギー

さて、『古典的な波動方程式の解き方』でも解説しましたが、一次元の箱の中の粒子に関するシュレディンガー方程式(2)の一般解\(\psi(x)\)は古典的波動方程式の一般解に一致しています。古典的波動方程式はどのように解くかというと、まず２変数関数である\(u(x,t)\)が2つの１変数関数\(X(x)\)と\(T(t)\)の積であると仮定します。

$$u(x,t)=X(x)T(t) \tag{6}$$

これを古典的波動方程式(3)に代入して分離定数\(K\)をおくと、

$$\begin{align} \frac{d^2 X(x)}{d x^2}-KX(x)&=0 \tag{7} \\ \frac{d^2 T(t)}{d t^2}-Kv^2T(t) &=0 \end{align} \tag{8}$$

が得られます。このとき、分離定数\(K\)は負の値をとらないと一般解が得られないため\(K=-\beta^2\)とおいて(7)式に代入すれば、

$$\frac{d^2 X(x)}{d x^2}+\beta^2X(x)=0 \tag{9}$$

これを解けば、

$$\psi(x)=X(x)=A\cos{\beta x}+B\sin{\beta x}\tag{10}$$

が得られます。このとき、\(A\)と\(B\)は定数です。詳しくは『古典的な波動方程式の解き方』を参照してください。ここで、(2)式と(9)式を比較すると、

$$\beta^2=\frac{2mE}{\hbar^2}\tag{11}$$

であるため、(10)式に代入して、

$$\psi(x)=A\cos{\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} x}+B\sin{\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} x}\tag{12}$$

になります。ここで、

$$k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}\tag{13}$$

とおくと、(12)式は、

$$\psi(x)=A\cos{kx}+B\sin{kx}\tag{14}$$

さて、(5)式の境界条件\(\psi(0)=0\)を(14)式に代入すれば\(A=0\)を得られます。さらに、\(\psi(a)=0\)でもあることから、

$$\psi(a)=B\sin{ka}=0\tag{15}$$

これを解くと\(B=0\)または\(\sin{ka}=0\)になりますが、１つ目は\(A=0\)と合わせると\(\psi(x)=0\)になってこれは無意味な解ですから、２つ目の方程式を解けば、

$$ka=n\pi\tag{16}$$

になります。このとき、\(n\)は自然数です。\(\sin{}\)が\(0\)になるのは角度が\(\pi\)の整数倍であるときです。(13)式と(16)式を連立して\(k\)を消去すれば、

$$\begin{align}E_n&=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}\\&=\frac{n^2h^2}{8ma^2}\end{align} \tag{17}$$

このとき、\(\hbar=h/2\pi\)であることを利用しました(定義)。また、\(E\)に下付き文字の\(n\)がついているのは、\(E\)が自然数\(n\)に依存して離散的(とびとび)な値をとっているからです。

(17)式に変数として含まれている自然数\(n\)を量子数といい、粒子のエネルギーが量子化されていると表現します。この分野が量子力学といわれる所以が垣間見えます。

また、(16)式を(14)式に代入して量子化された\(\psi(x)\)も求めます。先に得られた\(A=0\)も合わせて代入すれば、

$$\psi_n(x)=B\sin{\frac{n\pi x}{a}}\tag{18}$$

\(B\)の値については、これから説明する規格化によって求めることができます。

波動関数の規格化

次に、波動関数\(\psi(x)\)の定数\(B\)を規格化により求めます。さきほど紹介したマックス・ボルンの解釈によれば、\(\psi^*(x)\psi(x)dx\)は\(x\)と\(x+dx\)の間における粒子の存在確率ですから、これを\([0,a]\)で積分すると、

$$\int_0^a \psi^*(x)\psi(x)dx=1\tag{19}$$

になります。なぜなら、一次元の箱の中の粒子は\(x\)軸上の\(0 \leq x \leq a\)のどこかにはいるため、粒子の存在確率を\(x=0\)から\(x=a\)のときまで足せば\(１\)になるからです。

(19)式に波動関数の式(18)を代入すれば、

$$\int_0^a BB^*\sin^{\, 2}{\frac{n\pi x}{a}} dx=1\tag{20}$$

となって、\( BB^*=|B|^2\)は\(x\)に依らないので、

$$|B|^2\int_0^a \sin^{\, 2}{\frac{n\pi x}{a}} dx=1\tag{21}$$

さらに、加法定理から得られる半角の公式、

$$\sin^{\, 2}\alpha=\frac{1-\cos 2\alpha}{2}$$

を(21)式に代入して左辺の計算をすると、

$$\begin{align}|B|^2 \, \frac{a}{2}&=1\\B&=\sqrt{\frac{2}{a}}\end{align}$$

となって、\(B\)の値が得られました。これを(18)式に代入して波動関数\(\psi(x)\)を決定します。

$$\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin{\frac{n\pi x}{a}}\tag{23}$$

これが、\(x\)軸上の\(0 \leq x \leq a\)に閉じ込められた自由粒子、すなわち一次元の箱の中の粒子が満たす波動関数です。このように、(19)式の条件を満たすように定数\(B\)の値を決定する流れを規格化といい、得られた\(B\)の値を規格化定数とよびます。

参考文献

D.A.McQuarrie J.D.Simon(1999), 『物理学(上)-分子論的アプローチ-』, 東京化学同人, pp.86-93



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