剛体回転子のエネルギー準位と慣性モーメント

振動する二原子分子は調和振動子モデルによって近似できますが、回転する二原子分子は剛体回転子と呼ばれるモデルによって近似することができます。今回はこの剛体回転子モデルについて慣性モーメントを定義しがらエネルギー準位を求めていきます。

剛体回転子と運動エネルギー

いま、質量がそれぞれ\(m_1\)と\(m_2\)の2つの質点が重心座標(質量中心)を原点として回転運動しています。このとき、質量\(m_1\)の質点は原点から\(r_1\)離れていて、\(m_2\)の方は\(r_2\)離れているものとし、質点間距離\(r\)は固定されています。すなわち、

$$r=r_1+r_2 \tag{1}$$

が成り立ちます。このようなモデルを剛体回転子と呼びます。剛体とは、外力を加えても変形しない物体のことを言います。

剛体回転子

また、角速度を\(\omega(rad/s)\)とおけば質量\(m_1\)と\(m_2\)の速度\((m/s)\)はそれぞれ、

$$v_1=r_1\omega_1 \tag{2}$$

$$v_2=r_2\omega_2 \tag{3}$$

になります。高校の力学で勉強しましたね。

剛体回転子の運動エネルギー\(K\)は各質点の運動エネルギーの和に等しいので、

$$\begin{align} K&=\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2 \\ &=\frac{1}{2}(m_1r_1^2+m_2r_2^2)\omega^2 \tag{4} \end{align}$$

となります。

慣性モーメント

ここで、慣性モーメント\(I\)を紹介しましょう。前項では剛体回転子の二体問題を仮定しましたが、ここでは質量\(m\)の質点が角速度\(\omega\)で半径\(r\)の回転運動をしているものとします。

粒子の回転

このとき、回転する質点の運動エネルギー\(K\)は、

$$\begin{align} K&=\frac{1}{2}mv^2 \\ &=\frac{1}{2}m(r\omega)^2 \\ &=\frac{1}{2}mr^2\omega^2 \tag{5} \end{align}$$

になるわけですが、ここで慣性モーメント\(I\)を定義します。すなわち、

$$I=mr^2 \tag{6}$$

です。これを(5)式に代入して、

$$K=\frac{1}{2}I\omega^2 \tag{7}$$

となるのですが、(5)式の最初と見比べてみてください。(7)式は質量が\(I\)で速度が\(\omega\)の時の運動エネルギーを表していると解釈できませんか?

$$\frac{1}{2}mv^2 vs \frac{1}{2}I\omega^2$$

$$m vs I$$

$$v vs \omega$$

以上の対応関係を利用すれば運動量\(p\)に対応する式も\(I\)と\(\omega\)のみを使って表すことができるはずです。本来であれば運動量は\(mv\)で表されるので、これをそれぞれ\(I\)と\(\omega\)に書き換えれば\(I\omega(=Lとおくことにする)\)であると予想できます。これを式変形して\(m\)と\(v\)の式に戻しましょう。

$$L=I\omega=mr^2\cdot \frac{v}{r}=mvr \tag{8}$$

結局のところ運動量\(mv\)には戻りませんでしたが、この\(L(=I\omega=mvr)\)を角運動量といいます。

さらに、運動エネルギー\(K\)を運動量(または角運動量\(L\))を使って表してみましょう。通常は、

$$K=\frac{1}{2}mv^2=\frac{(mv)^2}{2m}=\frac{p^2}{2m} \tag{9}$$

となって、回転系では、

$$K=\frac{1}{2}I\omega^2=\frac{(I\omega)^2}{2I}=\frac{L^2}{2I} \tag{10}$$

(9)式と(10)式を見比べても、

$$\frac{1}{2}mv^2 vs \frac{1}{2}I\omega^2$$

$$m vs I$$

$$v vs \omega$$

$$p(=mv) vs L(=I\omega)$$

の対応関係が見て取れます。

剛体回転子のハミルトン演算子

話を剛体回転子の運動エネルギーに戻しましょう。(4)式を再び示すと、

$$K=\frac{1}{2}(m_1r_1^2+m_2r_2^2)\omega^2 \tag{4}$$

です。前項は回転系の運動エネルギーが\(\frac{1}{2}I\omega^2\)で表されることを解説しましたが、(4)式と比較してみると慣性モーメント\(I\)を

$$I=m_1r_1^2+m_2r_2^2 \tag{11}$$

とおけば剛体回転子の運動エネルギー式(4)は

$$K=\frac{1}{2}I\omega^2 \tag{12}$$

になるのではないでしょうか。それでは(11)式のおきかたにもう少し説得力を持たせて見ましょう。(11)式の分母・分子に\((m_1+m_2)\)をかけて式変形していきます。

$$\begin{align} I&=m_1r_1^2+m_2r_2^2 \\ &=(m_1r_1^2+m_2r_2^2)\frac{m_1+m_2}{m_1+m_2} \\ &= \frac{m_1^2r_1^2+m_2^2r_2^2+m_1m_2r_1^2+m_1m_2r_2^2}{m_1+m_2} \tag{13} \end{align}$$

ここで、剛体回転子モデルの中心は2つの質点の重心(質量中心)であるため、

$$m_1r_1=m_2r_2 \tag{14}$$

が成り立ちます。すると(13)式の分子の前2項はそれぞれ、

$$m_1^2r_1^2=m_1r_1\cdot m_1r_1=m_1r_1\cdot m_2r_2 \tag{15}$$
$$m_2^2r_2^2=m_2r_2\cdot m_2r_2=m_1r_1\cdot m_2r_2 \tag{16}$$

に式変形できるので、これらを(13)式に代入して分子を整理していくと、

$$\begin{align} I&= \frac{m_1m_2r_1r_2+m_1m_2r_1r_2+m_1m_2r_1^2+m_1m_2r_2^2}{m_1+m_2} \\ &=\frac{2m_1m_2r_1r_2+m_1m_2r_1^2+m_1m_2r_2^2}{m_1+m_2} \\ &=\frac{m_1m_2(r_1^2+2r_1r_2+r_2^2)}{m_1+m_2} \\ &=\frac{m_1m_2(r_1+r_2)^2}{m_1+m_2} \tag{17} \end{align}$$

(1)式の\(r=r_1+r_2\)を代入して、

$$I=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}r^2 \tag{18} $$

となります。ここで、換算質量\(\mu\)は、

$$\frac{1}{\mu}=\frac{1}{m_1}+\frac{2}{m_2}=\frac{m_1+m_2}{m_1m_2} \tag{19}$$

で与えられるので、これを(18)式に代入すれば、

$$I=\mu r^2 \tag{20}$$

にまで単純化できます。それでは慣性モーメント\(I\)の定義式(6)と比較して見ましょう。

$$mr^2 vs \mu r^2$$

すると、剛体回転子モデルは質量\(\mu\)の質点が半径\(r(=r_1+r_2)\)の回転運動していると解釈することができます。このようにして、剛体回転子モデルの二体問題は換算質量\(\mu\)と2つの質点間の距離\(r\)を使った一体問題として扱うことができるのです。

剛体回転子のエネルギー準位

そこで、剛体回転子のハミルトン演算子\(\hat H\)を求めて見ましょう。

シュレディンガー方程式は、

$$\hat H\psi(x)=E\psi(x)\tag{21}$$

で表されます。ここで、\(\psi(x)\)は波動関数、\(E\)は粒子の全エネルギーです。1次元の場合のハミルトン演算子は通常、

$$\hat H=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+V(x) \tag{22}$$

なのですが、今回は重力や復元力などの保存力は仮定していないためポテンシャルエネルギー\(V(x)\)は\(0\)になります。このとき、\(\hbar\)はプランク定数\(h\)を\(2\pi\)で割ったものです。

$$\hat H=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}(=\hat K) \tag{23}$$

これはラプラス演算子が運動エネルギーを求める演算子\(\hat K\)に等しいことを示しています。先ほど解説したように、剛体回転子モデルは質量が換算質量\(\mu\)の一体問題に変換できるので、(23)式の\(m\)を\(\mu\)に書き換えて3次元の場合に直せば、

$$\begin{align} \hat H&=-\frac{\hbar^2}{2\mu}(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}) \\ &=-\frac{\hbar^2}{2\mu}\nabla^2 \end{align} \tag{24}$$

これが剛体回転子のハミルトン演算子になります。このとき、\(\nabla^2\)はラプラス演算子と呼ばれるものです。回転運動を考える際には\(\nabla^2\)を直交座標系の\((\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2})\)ではなく極座標系の形で利用した方が簡便なのですが、ここでは結果だけを示すに留めたうえで導出は別の記事で解説しようと思います。

$$\nabla^2=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2\frac{\partial}{\partial r})+\frac{1}{r^2\sin \theta}\frac{\partial}{\partial \theta}(\sin \theta\frac{\partial}{\partial \theta})+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}(\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}) \tag{25}$$

今回は質点間の距離\(r\)が変化しないと近似しているので、\(r\)についての偏微分が含まれる最初の項は消えて、

$$\nabla^2=\frac{1}{r^2\sin \theta}\frac{\partial}{\partial \theta}(\sin \theta\frac{\partial}{\partial \theta})+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}(\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}) \tag{26}$$

になるので、これを(24)式に代入して、

$$\begin{align}\hat H&=-\frac{\hbar^2}{2\mu}[\frac{1}{r^2\sin \theta}\frac{\partial}{\partial \theta}(\sin \theta\frac{\partial}{\partial \theta})+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}(\frac{\partial^2}{\partial\phi^2})] \\ &=-\frac{\hbar^2}{2\mu r^2}[\frac{1}{\sin \theta}\frac{\partial}{\partial \theta}(\sin \theta\frac{\partial}{\partial \theta})+\frac{1}{\sin^2\theta}(\frac{\partial^2}{\partial\phi^2})] \end{align} \tag{26}$$

(20)式の\(I=\mu r^2\)を代入して、

$$\hat H=-\frac{\hbar^2}{2I}[\frac{1}{\sin \theta}\frac{\partial}{\partial \theta}(\sin \theta\frac{\partial}{\partial \theta})+\frac{1}{\sin^2\theta}(\frac{\partial^2}{\partial\phi^2})] \tag{27}$$

ところで、(10)式の\(K=\frac{L^2}{2I}\)を\(L^2=\)の形に式変形して演算子とすれば、

$$\hat L^2=2I\hat H \tag{28}$$

であるので(27)式を代入して、

$$\hat L^2=-\hbar^2[\frac{1}{\sin \theta}\frac{\partial}{\partial \theta}(\sin \theta\frac{\partial}{\partial \theta})+\frac{1}{\sin^2\theta}(\frac{\partial^2}{\partial\phi^2})] \tag{29}$$

が得られます。

ところで、剛体回転子を極座標で表した際には\(r\)が一定の近似により変数が\(\theta\)と\(\phi\)になるのでシュレディンガー方程式(21)は(29)式の代入も合わせて、

$$-\frac{\hbar^2}{2I}[\frac{1}{\sin \theta}\frac{\partial}{\partial \theta}(\sin \theta\frac{\partial}{\partial \theta})+\frac{1}{\sin^2\theta}(\frac{\partial^2}{\partial\phi^2})]\Psi(\theta ,\phi)=E\Psi(\theta ,\phi) \tag{30}$$

になります。この偏微分方程式を解くことで剛体回転子のエネルギー準位\(E\)が求まります。この方程式を解くと長くなるので結果だけ示しておくと、

$$E_J=\frac{\hbar^2}{2I}J(J+1)  J=0,1,2… \tag{31}$$

このようにして、剛体回転子のエネルギー準位が離散的な値、すなわち飛び飛びの値を取ることがわかるのです。(30)式の解き方についてもラプラス演算子の極座標変換と同じく別の記事で解説したいと思います。実は(30)の偏微分方程式は水素原子のシュレディンガー方程式に変数分離法を適用した際にも現れます!解説はそのときに!