フックの法則の運動方程式と調和振動子の全エネルギー

二原子分子における分子内振動は調和振動子と呼ばれるモデルを使って近似することができます。調和振動子とは、ひとことで言ってしまえば質点がフックの法則に従って運動するときの系を指します。今回は質点1つがばねにつながれた際の調和振動子モデルについて、運動方程式(微分方程式)や全エネルギーを計算していきます。

調和振動子とフックの法則

まず、質量\(m\)の質点がばねを介して水平につながれている状態を考えましょう。本来、物体は大きさをもっていますが、質点は質量中心に大きさが集中している点だと見なされます。質点に対する摩擦や重力などの影響は無視します。原点の位置を壁とばねがつながる地点に設定し、ばねの自然長、すなわち伸びても縮んでもいないときの長さを\(l_0\)とします。

ばねで壁とつながれた質点

そこで、何らかの原因でばねが伸び縮みして長さが\(l\)に変化したとすれば、ばねは元の自然長に戻ろうとします。このときのばねの力のことを復元力と呼びます。この復元力\(f\)はばねの自然長からの変位に比例するため、比例定数を\(k\)とおけば、

$$f=-k(l-l_0)=-kx \tag{1}$$

で表すことができ、これをフックの法則と呼びます。このとき、ばねの変位が正のときは伸びた状態であるため復元力は縮む方向、すなわち負の値をとります。ばねの変位が負のときは逆に復元力は正の値をとります。このことから、フックの法則にはマイナスの符号がかけられています。

フックの法則をニュートンの運動方程式に当てはめると、

$$ma=-k(l-l_0)=-kx \tag{2}$$

さらに、加速度aは変位の2階微分であるので、

$$m\frac{d^2l}{dt^2}=-k(l-l_0)=-kx \tag{3}$$

に書き換えることができます。さらに、\(l\)は\(x\)を用いてあらわすことができるので長さの指標を\(X\)に統一しましょう。

$$x=l-l_0 \tag{4}$$

$$l=x+l_0 \tag{5}$$

両辺をtについて2階微分すれば、\(l_0\)が定数であることから、

$$\frac{d^2l}{dt^2}=frac{d^2x}{dt^2} \tag{6}$$

になります。これを(3)式に代入して右辺が\(0\)になるよう移項すれば、

$$m\frac{d^2x}{dt^2}+kx=0 \tag{7}$$

となります。この方程式は変数\(x\)とその微分が1次の項でのみ表されていることと、各項の係数が定数であることから定係数の線形微分方程式でもあることが分かります。この種の方程式は解くことができて、(7)式の場合の解は、

$$x(t)=Asin{\omega t}+Bcos{\omega t} \tag{8}$$

になります。このとき、\(A\)と\(B\)は定数であり、

$$\omega =\sqrt{\frac{k}{m}} \tag{9}$$

で与えられます。

調和振動子の全エネルギー

次に、前項で考えた調和振動子の全エネルギーを計算してみましょう。簡単のために、(8)式で\(A=0\)の場合を考えます。

$$x(t)=B\cos \omega t \tag{10}$$

すると、ばねの振幅が\(B\)の余弦波になりました。

調和振動子の余弦波

全エネルギーは位置エネルギー\(V\)と運動エネルギー\(K\)の和で与えられるため、まずは位置エネルギーを求めます。

高校または大学の教養課程で習う古典的力学によれば力\(f\)が、

$$f(x)=-\frac{dV}{dx} \tag{11}$$

で与えられるため、両辺に\(dx\)を掛けて積分すれば、

$$V(x)=-\int f(x) dx +C \tag{12}$$

が得られます。このとき、\(C\)は積分定数です。

(12)式に(1)式を代入して\([0,x]\)で積分すれば、

$$V(x)=\frac{k}{2}x^2 \tag{13}$$

を得るので、さらに(10)式を代入して、

$$V=\frac{1}{2}kB^2\cos^2 \omega t \tag{14}$$

また、運動エネルギーは、

$$K=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}m(\frac{dx}{dt})^2 \tag{15}$$

であるので(15)式に(10)式を代入すれば、

$$K=\frac{1}{2}m\omega ^2B^2\sin^2 \omega t \tag{16}$$

となって、さらに(9)式を代入すれば、

$$K=\frac{1}{2}kB^2\sin^2 \omega t \tag{17}$$

以上より、(14)式と(17)式から、

$$\begin{align}K&=V+K \\ &=\frac{1}{2}kB^2\cos^2 \omega t+\frac{1}{2}kB^2\sin^2 \omega t \\ &=\frac{1}{2}kB^2(\cos^2 \omega t+\sin^2 \omega t) \\ &=\frac{1}{2}kB^2(=一定) \tag{18} \end{align}$$

が得られました。これによって、調和振動子の全エネルギーは一定である、すなわち保存することが分かったわけです。ただし、今回は復元力しか外力の働かない系を仮定していたことに注意してください。位置エネルギー\(V\)と運動エネルギー\(K\)の時間変化をグラフに表した図を以下に示します。

調和振動子のエネルギー図